استقرا
ذخیره مقاله با فرمت پی دی اف
اِسْتِقْرا، اصطلاحی در
منطق به معنی استدلالی که بر پایۀ مشاهدۀ جزئیات استوار است. معمولاً استقرا را به دو قسم تقسیم می‌کنند: ۱.
استقرای تام. ۲.
استقرای ناقص. علاوه بر این دو قسم،
ارسطو از قسم سومی نیز که بدان
استقرای شهودی گفته می‌شود، سخن گفته است.
استقرای ریاضی نیز روشی برهانی در اثبات قضایای ریاضی است. به بیان
ابن سینا استقرا عبارت است از حکم کردن بر یک کلی از آن روی که این حکم در جزئیات آن کلی موجود است، یا در همۀ جزئیات آن کلی و این را استقرای تام خوانند یا در بیشتر جزئیات آن کلی و این استقرای مشهور است. ابن سینا در باب یقین تجربی می‌گوید: سخن ما این نیست که تجربه عاری از خطاست... ، بلکه سخن این است که در موارد بسیار بر اثر تجربه برای ما یقین حاصل می‌شود و از خود می‌پرسیم که سبب پیدایش این یقین چیست؟ ودر پاسخ می‌گوید: این یقین در جایی حاصل می‌شود که اطمینان یابیم غیر علت را به جای علت اخذ نکرده ایم. استقرای شهودی نیز فعالیتی است که به اعتقاد
ارسطو از طریق آن
ذهن به ادراک اصول کلی فلسفی، مانند
اصل علیت و مفاهیمی چون
قوه و
فعل، و نیز ذوات کلی متحقق در جزئیات نائل می‌شود. استقرای ریاضی در واقع همان استقرای منطق ارسطویی است و نخستین کسی که به طور منظم بدان پرداخته،
پئانو است.
این واژه در لغت به معنی تتبع و جست‌وجوست و در
منطق به استدلالی گفته می‌شود که در آن
ذهن از مشاهدۀ واقعیتهای جزئی (حقیقی یا اضافی) به حکمی کلی می‌رسد.
استدلال استقرایی در برابر
استدلال قیاسی قرار دارد. در استدلال قیاسی ذهن از حکمی کلی به نتیجه‌ای جزئی متعلق به آن کلی می‌رسد. ذکر نمونه‌ای برای هریک از این دو قسم تفاوت آنها را روشن خواهد کرد:
الف ـ نمونۀ استدلال قیاسی: هر حیوانی که دارای قلب است، دارای کلیه است؛ فیل دارای قلب است؛ بنابراین، فیل دارای کلیه است.
ب ـ نمونۀ استدلال استقرایی: آهن (یک فلز) بر اثر حرارت منبسط می‌شود، روی (فلزی دیگر) بر اثر حرارت منبسط می‌شود، ... مس (فلزی دیگر) بر اثر حرارت منبسط می‌شود؛ بنابراین هر فلزی بر اثر حرارت منبسط می‌شود.
با اندک تأملی می‌توان ملاحظه کرد که نه تنها دانش انسان در زمینه‌های مختلف علوم تجربی، بلکه بسیاری از معتقدات و تجارب ملل که به صورت امثال و حکم در بین آنان رایج است ــ مانند »هر که آن کند که نباید، آن بیند که نشاید»، یا «آزموده را آزمودن خطاست» ... ــ همه از طریق استقرا به دست آمده است.
افلاطون نخستین فیلسوفی است که به نقش
حواس و تأثیر به کارگیری مشاهده حسی در حصول
معرفت اشاره کرده است. هر چند او شناخت را نوعی «یادآوری» دانسته، اما در رسالۀ
فدروس تصریح کرده است که حصول این یادآوری مستلزم «انتقال از کثرت ادراکات حسی» است.
هنگامی که
ارسطو پس از افلاطون نظریۀ
مثل و یادآوری را رها ساخت، چگونگی پیدایش شناخت انسان را نسبت به اشیاء و واقعیتهای عالم طبیعت مبتنی بر استقرا شمرد.
او در آثار مختلف خود مکرر بر این نکته تأکید کرده است که توسعۀ هرگونه معرفت علمی یا براساس قیاس است، یا براساس استقرا.
مهم‌ترین نکاتی که او در باب استقرا مطرح کرده، اینهاست: تعریف استقرا، ذکر مثالهایی از نوع استقرای تام و ناقص، توضیح این نکته که چگونه با شرایطی استقرا قابل ارجاع به
قیاس است و سرانجام، ذکر نکاتی در مقایسۀ اعتبار علمی استقرا و قیاس و تأثیر متفاوت آنها در اذهان.
نخستین حکیم مسلمان که در باب استقرا سخن گفته،
ابونصر فارابی (د ۳۳۹ق) است. او در برخی از آثار خود که در واقع شرح، یا تلخیص آثار منطقی ارسطوست، به توضیح نکاتی پرداخته که ارسطو در باب استقرا مطرح کرده است. ویژگی نوشته‌های فارابی در این زمینه وضوح قابل ملاحظۀ آنها در مقایسه با ترجمه‌هایی است که از آثار ارسطو در آن زمان وجود داشته است.
اما فارابی نکته‌ای را دربارۀ کاربرد روش استقرایی گزارش می‌کند که با عنایت به بحثهای جاری در فلسفۀ علم بسیار قابل توجه است. او می‌گوید: «... گروهی دیگر برای اثبات قضایای کلی به استقرا توسل می‌جستند، اما چون متوجه نادرستی این روش شدند، توسل بدان را برای اثبات اینگونه قضایا رها ساختند و آن را به منظور ابطال آن قضایا به کار گرفتند».
پس از فارابی،
ابن سینا به بحث دربارۀ استقرا پرداخته است. او در آثار مختلف خود مانند
اشارات،
نجات،
شفا و نیز
دانشنامه علایی دربارۀ مسألۀ استقرا بحث کرده است. مهم‌ترین بحث او در این باب در کتاب قیاس و کتاب
برهان از
منطق شفا مذکور است. ابن سینا علاوه برشرح و توضیح نکات و مثالهایی که ارسطو دربارۀ استقرا بیان کرده، همچنین بر این نکته تأکید نموده است که استقرای مورد بحث در اینجا با آنچه ارسطو در کتاب
جدل دربارۀ استقرا بیان می‌کند، اساساً متفاوت نیست و می‌نویسد که استقرا نزد ارسطو مفهومی واحد است که به دو قسم تام و ناقص تقسیم می‌گردد.
این نظر ابن سینا را ــ که دیگر فلاسفه و منطقیان مسلمان نیز پذیرفته‌اند ــ می‌توان در برابر نظر نویسندگان مغرب زمین قرار داد که معتقدند ارسطو لفظ «استقرا» را در آثار خود به دو یا سه معنای متفاوت به کار برده است.
مهم‌ترین کار ابن سینا در مبحث استقرا، تبیینی است که او از چگونگی حصول
یقین نسبت به درستی قضایای کلی در علوم تجربی ارائه کرده است. وی نخستین‌بار در فصل نهم از برهان شفا مسألۀ فلسفی چگونگی اعتقاد به درستی قضایای کلی علوم تجربی را که محور اصلی تحقیقات جاری در فلسفۀ علم است، مطرح می‌کند و اعتقاد به اینگونه قضایا را حاصل از یک قیاس خفی می‌شمارد که ذهن در هر مورد، و در پی مشاهدات مکرر، و در شرایط خاص تشکیل می‌دهد.
معمولاً استقرا را به دو قسم تقسیم می‌کنند: ۱.
استقرای تام. ۲.
استقرای ناقص. علاوه بر این دو قسم، ارسطو از قسم سومی نیز که بدان
استقرای شهودی گفته می‌شود، سخن گفته است.
استقرای ریاضی نیز روشی برهانی در اثبات قضایای ریاضی است.
ابن سینا با تعریف استقرا، دو قسم تام و ناقص را چنین بیان می‌کند: استقرا عبارت است از حکم کردن بر یک کلی از آن روی که این حکم در جزئیات آن کلی موجود است، یا در همۀ جزئیات آن کلی ــ و این را استقرای تام خوانند ــ یا در بیشتر جزئیات آن کلی ــ و این استقرای مشهور است.
چنانکه بیان شد استقرا روشی است برای توسعۀ دانش انسان. دانش حاصل از طریق استقرای تام عبارت است از تصدیق به ثبوت حکمی برای یک کلی از آن رو یکه آن حکم در تمام جزئیات آن کلی یافت می‌شود. جزئیات مورد نظر در استقرای تام از قبیل «
جزئی اضافی» است. بنابراین، گاه استقرای تام بررسی تمام انواع متعلق به یک
جنس است برای دانستن حکم جنس آن انواع. مثالی که ارسطو در کتاب «تحلیلات اولى»
برای توضیح روش استقرایی بیان کرده، و در شفا ی ابن سینا
نیز دربارۀ آن بحث شده است، نمونه‌ای از کاربرد استقرار تام در علوم طبیعی است. از مشاهدۀ اینکه «انسان طویل العمر است»، «اسب طویل العمر است»، و «استر طویل العمر است»، می‌توان نتیجه گرفت که «هر حیوان قلیل المراره» (خود زهره) طویل العمر است. انسان و اسب و استر، بنابر فرض، در تحت کلی «قلیل المراره» قرار دارند، و این کلی دارای جزئیاتی جز انسان، اسب و استر (یعنی جز همان انواعی که مشاهدات ما طویل العمر بودن آنها را نشان داده است) نیست.
اگر جزئیات واقع در تحت موضوع نتیجه را با حرف ج، و موضوع نتیجه را با حرف ب نشان دهیم، ارسطو به جای اینکه بگوید: در استقرای تام لازم است که تمام جزئیات ب مورد بررسی قرار گیرد، می‌گوید: ج و ب باید قابل انعکاس باشند، یعنی ج و ب از نظر مصداق باید مساوی باشند. در این صورت، اگر محمول الف در مورد ج صادق باشد، در مورد ب نیز صادق خواهد بود. زیرا اگر دو چیز از نظر مصداق مساوی باشند و حکمی در مورد یکی از آنها صدق کند، در مورد دیگری نیز صدق خواهد کرد (همانجا). در مثال مورد بحث مشاهده می‌شود که طویل العمر (الف)، در مورد انسان و اسب و استر (ج)، صادق است و نیز معلوم می‌شود که انسان و اسب و استر (ج)، یا قلیل المراره (ب)، از نظر مصداق مساوی است، پس می‌توان نتیجه گرفت که محمول «طویل العمر» در مورد هر حیوان قلیل المراره صادق است، یعنی می‌توان نتیجه گرفت «هر حیوان قلیل المراره طویل العمر است».
ارسطو می‌گوید: چون شرط ذکر شده تحقق پذیرد، نتیجۀ استقرا را می‌توان به صورت نتیجۀ استدلالی قیاسی نیز بیان کرد. مثلاً در مثال یاد شده می‌توان چنین استدلال کرد: حیوان قلیل المراره یا انسان است، یا اسب، یا استر؛ انسان، اسب و استر طویل العمرند. بنابراین، هر حیوان قلیل المراره طویل العمر است. این نوع قیاس را، پس از ارسطو، به دلیل اجزاء متعددِ
حد وسط «قیاس مقسِّم» خوانده‌اند و با توجه به منشأ استقرایی آن «استقرای برهانی» نامیده‌اند. همچنین به دلیل اینکه استقرایی است که در آن تمام جزئیات موضوع بررسی شده است، «استقرای تام» می‌خوانند.
در اینجا لازم است به دو نکته توجه شود: نخست اینکه این نوع استدلال مبتنی بر تتبع و بررسی جزئیات است و به رغم شکل قیاسی که در نهایت به خود می‌پذیرد، نباید آن را از قبیل استدلالهای قیاسی شمرد. نکتۀ دوم استقرای تام چون در زمینۀ مسائل علوم طبیعی به کار رود، خود مبتنی بر استقرای ناقص خواهد بود، زیرا چگونه می‌توان مثلاً مدعی شد که انسان، اسب یا استر طویل العمر است، بدون اینکه طویل العمر بودن تمام افراد هریک از این انواع محقق شود؛ و در صورتی که دربارۀ حجیت استقرای ناقص تردیدی وجود داشته باشد، اینگونه استقرا نیز نمی‌تواند موجب یقین شود؛ و سرانجام، اینگونه استقرا چون برای استنتاج قضایای کلی علوم طبیعی به کار رود، مبتنی بر این فرض است که برای هر جنس یا گونه‌ای از اجناس یا گونه‌های طبیعی،
انواع یا زیرگونه‌های محدود وجود دارد. در غیر این صورت از مشاهدۀ انواع بررسی شدۀ یک جنس آن انواع را نتیجه گرفت.
استقرای ناقص که گاهی
استنتاج توسعی نیز خوانده شده، استنتاجی است که در آن چون بعضی از جزئیات (یا افراد) یک کلی را به صفتی بیابیم، این حکم را تعمیم دهیم و بگوییم: تام جزئیات یا افراد آن کلی بدان صفت متصفند. مثلاً هرگاه در بررسی نمونه‌هایی از یک گیاه مشاهده کنیم که تمامی نمونه‌های بررسی شده دارای خاصیت دارویی معینی هستند، براساس این مشاهدات آن حکم را در مورد نوع آن گیاه صادق بشماریم، یعنی نتیجه بگیریم «هر گیاهی از آن نوع دارای آن خاصیت دارویی است»، این معرفت جدید معرفتی است استقرایی یا مبتنی بر استقرا.
آنجا که ارسطو در کتاب «جدل» می‌گوید: استقرا انتقال از (حکم) جزئیات به (حکم) کلیات است،
به همین قسم از استقرا نظر داشته است. همچنین به نظر می‌رسد که وقتی ارسطو تأکید می‌کند که رشد علمی انسان یا مبتنی بر قیاس است، یا مبتنی بر استقرا، این قسم از استقرا را در نظر داشته است. در مثالی که ارسطو برای توضیح این تعریف ذکر می‌کند، می‌گوید: استقرا مانند این است که اگر معلوم باشد «ناخدای آزموده از کفایت بیشتری برخوردار است» و نیز «سوارکار آزموده از کفایت بیشتری برخوردار است»، نتیجه بگیریم که «هر شخص آزموده در حرفۀ خود از کفایت بیشتری برخوردار است».
ارسطو در عین تأکید مکرر بر اینکه استقرا یکی از دو روش تحصیل
علم است، هیچ‌گاه توضیحی برای معقولیت انتقال از حکم جزئیات به حکم کلی آنها، و اکتساب قضایای کلی مربوط به علوم تجربی از این طریق، ارائه نکرده است. تحقیق در این مسأله که به نام مسألۀ استقرا معروف است، محور اصلی بحثهای بسیار پرثمری است که در فلسفۀ معاصر با عنوان «
فلسفه علم» مطرح گردیده است.
ابن سینا این مشکل را به روشنی ملاحظه کرده، و برای آن راه حل دقیقی ارائه نموده است. او در حالی که نتیجۀ استقرای ناقص را یقینی نمی‌شمارد، نتیجۀ جریان استنتاجی مشابه ولی کامل‌تری را به عنوان «
تجربه» یقینی می‌شمارد. او در
دانشنامه علایی چنین می‌نویسد: «مردمانی که استقرا کنند، چون بسیاری را، یا بیشتر را چنین یابند، حکم کنند بر همه؛ و این نه ضروری بود، زیرا که شاید بودن که نادیده خلاف دیده بود و صد هزار متفق بودند و یکی مخالف بود، چنانکه تمساح زفر زبرین جنباند و زیرین نجنباند».
در پایان این عبارت، ابن سینا به موردی از استقرا اشاره کرده است که نشان می‌دهد چگونه نتیجۀ حاصل از یک استقرای ناقص می‌تواند نادرست باشد. زیست‌شناسان قدیم مشاهده نموده بودند که حیوانات به هنگام جویدن خوراک فک زیرین خود را حرکت می‌دهند و از این مشاهدات چنین نتیجه گرفته بودند که هر حیوانی به هنگام جویدن فک زیرین خود را حرکت می‌دهد، اما مشاهدات بعدی نشان داد که این حکم مقرون به صواب نیست و تمساح به هنگام جویدن فک زبرین خود را حرکت می‌دهد.
چنانکه ذکر شد، نتیجۀ استدلال استقرایی قضیه‌ای است
کلی و مقدمات آن از گزارش شمار محدودی مشاهده تشکیل یافته است. با توجه به این امر در این قسم از استدلال نمی‌توان مدعی شد که مقدمات منطقاً مستلزم نتیجه است. فقط در صورتی چنین می‌توان گفت که مقدمات متضمن نتیجه، و به عبارت دیگر نتیجه مندرج در مقدمات باشد. اما این وضع فقط در استدلالهای قیاسی موجود است. این نکته را که در یک استدلال استقرایی مقدمه منطقاً مستلزم
نتیجه نیست، بدینگونه نیز می‌توان بیان کرد که مقدمات یک استدلال استقرایی گزارش مشاهدۀ n مورد از تحقق یک
حکم است، اما بر این اساس ما مدعی ثبوت حکم در n+۱ مورد هستیم. بر فرض آنکه بدانیم درگذشته n مورد از شئ یا پدیده‌ای که مشاهده کرده‌ایم، متصف به صفت معینی هستند، نمی‌توان «مطلقاً» نتیجه گرفت که n+۱ نیز متصف به همان صفت خواهد بود.
استدلال یاد شده که مشابه آن در بحثهای جدید مربوط به استقرا زیاد تکرار می‌شود، در صورتی پذیرفتنی است که در آن کلمۀ «منطقاً» به معنای «بر طبق اصول منطق قیاسی» به کار برده شود؛ زیرا واضح است که در
منطق صوری نمی‌توان استدلالی را معتبر شمرد که در آن نتیجه غیر از چیزی باشد که مقدمات متضمن آن است؛ اما در عین حال، باید توجه داشت که هرگاه کسی ادعا کند که استدلال استقرایی چون معیارهای مربوط به استدلال قیاسی را دارا نیست، ناپذیرفتنی است، تلویحاً ابراز می‌دارد که در نظر او فقط یک قسم از استدلال، یعنی فقط استدلال قیاسی، معتبر است و دلیل اگر غیرقیاسی باشد، باطل است؛ و این محدود نمودن مفهوم «دلیل معتبر» به قسمی از آن، یعنی «دلیل قیاسی» است.
دیوید هیوم ــ که بحثهای جدید مربوط به استقرا با بحث و نقد وی از
اصل علیت شروع شده است ــ می‌گوید: «چنین به نظر می‌رسد که هرگونه نتیجه‌گیری دربارۀ امور واقع مبتنی بر رابطۀ
علت و معلول است» و سپس این سؤال را مطرح می‌کند که آیا می‌توان اعتقاد ما به وجود رابطۀ علّی در بین پدیده‌ها را موجه دانست؟ آنگاه اظهار می‌دارد که چنین اعتقادی را نمی‌توان موجه دانست؛ زیرا علت و معلول مفهوماً از یکدیگر متمایزند و مفهوم علت (مثلاً آتش) منطقاً مستقل از مفهوم معلول (مثلاً حرارت) است. از سوی دیگر، در این موارد هیچ‌گونه انطباعی نیز که نشان‌دهندۀ وجود یک ربط ضروری بین علت و معلول باشد، در
ادراکات حسی ما وجود ندارد. آنچه در روابط علّی مورد بحث قابل مشاهده است، مقارنت و توالی پدیده‌هاست، اما ربط ضروری آنها قابل مشاهده نیست.
این اظهارات مبتنی بر این اعتقاد یا فرض مکتب تجربی است که اعتقاد به درستی هر
قضیه یا بر اساس تحلیلی بودن آن است، یا بدین لحاظ است که در ما تجربه‌ای گواه بر صدق آن وجود دارد، اما قضایا و قوانینی که روابط علّی بین پدیده‌ها را بیان می‌کنند، از هیچ‌یک از این دو قسم نیستند، زیرا صدق اینگونه قضایا تحلیلی نیست و چنانکه گفته شد، در ما هیچ تجربه، یا به تعبیر هیوم هیچ انطباعی، وجود ندارد که اعتقاد به آنها را موجه سازد. به عبارت دیگر، هیوم معتقد است که چون تصور علت و معلول دو تصور مستقل است و می‌توان هریک را بدون دیگری تصور کرد (یعنی تصور هیچ‌یک مستلزم تصور دیگری نیست)، از سوی دیگر وقتی به تجربه مراجعه کنیم، ملاحظه می‌شود که آنچه درگذشته مشاهده کرده‌ایم، مقارنت و توالی پدیده‌ها بوده است، نه چیزی به عنوان ربط ضروری؛ بنابراین، دلیل قابل قبولی برای اعتقاد به صحت قضایای تجربی و قوانینی که بیان‌کنندۀ رابطۀ ضروری و کلی در میان پدیده‌هاست، وجود ندارد.
مشکل یاد شده که به نام مسألۀ استقرا معروف است، درواقع مشکل مکتب تجربی است، زیرا در این مکتب است که مسأله صورت لاینحل به خود می‌گیرد.
راسل فیلسوف انگلیسی در
تاریخ فلسفه غرب پس از بحثی دربارۀ نظر هیوم می‌گوید: هیوم نشان داده است که مکتب تجربی محض، اساس مناسبی برای علم نیست. او در جای دیگر می‌گوید: درست یا نادرست، فلسفۀ هیوم نشان‌دهندۀ ورشکستگی عقلانی بودن قرن ۱۸م است. او همانند لاک با این انگیزه که فردی تجربی و معقول باشد، شروع کرد... ، اما به این نتیجۀ فاجعه‌آمیز رسید که از تجربه و مشاهده هیچ چیز نمی‌توان آموخت.
چنانکه اشاره شد، این نتیجه ناشی از این پیش فرض مکتب تجربی است که می‌گوید: صدق یک قضیه اگر تحلیلی نباشد، به ناچار باید تماماً مبتنی بر تجربه‌ای باشد که گواه بر صدق آن است؛ اما چون اعتقاد به وجود رابطۀ علّی در بین پدیده‌ها نه یک اعتقاد تحلیلی است و نه اعتقادی مبتنی بر مشاهده؛ بنابراین، مکتب تجربی از ارائۀ توجیهی قابل قبول برای اعتقاد به صحت و درستی قضایای علوم تجربی، عاجز است.
آنچه ذکر شد، به خوبی نشان می‌دهد که از صرف مشاهدۀ جزئیات و بر اساس منطق قیاسی محض، نمی‌توان احکام علوم تجربی را نتیجه گرفت؛ اما از سوی دیگر، این واقعیت که در موارد بسیار برای انسان یقین تجربی حاصل می‌شود، نیازمند توضیح است و ابن سینا را بر آن می‌دارد که این پرسش را مطرح کند که اگر این یقین را براساس صرف مشاهدۀ جزئیات نمی‌توان موجه شمرد، پس
یقین ما نسبت به صدق اینگونه قضایا چگونه حاصل می‌شود؟
ظاهراً ابن سینا نخستین فیلسوفی است که به این مسألۀ مهم پرداخته، و باری آن راه حلی ارائه کرده است. این راه حل را نه تنها فلاسفه و منطقیان مسلمان قبول داشته‌اند، بلکه تحقیقات اخیر نشان می‌دهد که فلاسفۀ سده‌های میانۀ اروپا، همچون
آلبرت کبیر و
دانس اسکاتس نیز راه حل ابن سینا را تنها راه حل می‌دانسته‌اند.
تبیین یقین تجربی در نظریل ابن سینا مبتنی بر جدا دانستن احکام تجربی از احکام استقرایی است. حکم استقرایی چنانکه گفته شد، حکمی است کلی که براساس مشاهدۀ جزئیات به دست آمده است، اما حکم تجربی به گفتۀ
ابن سینا حکمی است که علاوه بر مشاهدۀ جزئیات همچنین مبتنی بر یک استدلال قیاسی است. ابن سینا این استدلال را در کتاب
اشارات «
قیاس خفی» می‌خواند و حصول یقین نسبت به هر حکم کلی تجربی را مبتنی بر آن می‌داند.
او در
شفا این قیاس را با ذکر مثالی چنین توضیح می‌دهد: «پس از آنکه از طریق مشاهده به تکرار بر ما معلوم شد که در پی استعمال سقمونیا اسهالِ صفرا عارض می‌شود،
ذهن چنین نتیجه می‌گیرد که مسهلیت برای سقمونیا اتفاقی نیست، زیرا اگر عروض مسهلیت بر اثر سقمونیا اتفاقی می‌بود، دائماً بر اثر آن به وقوع نمی‌پیوست. زیرا آنچه اتفاقی است، به طور دائم، یا در بیشتر اوقات واقع نمی‌شود».
در این عبارت چگونگی حصول این اعتقاد کلی که «سقمونیا مسهل صفراست» توضیح داده شده است. در پی مشاهدۀ مکرر اینکه استعمال سقمونیا اسهال صفرا را به دنبال می‌آورد،
ذهن چنین استدلال می‌کند: «اگر عروض مسهلیت بر اثر سقمونیا امری اتفاقی می‌بود، دائماً به وقوع نمی‌پیوست؛ اما مشاهده نشان داده است که چون سقمونیا استعمال شود، اسهال صفرا پدید می‌آید؛ بنابراین سقمونیا همان علت اسهال است». چون کبرای این قیاس، یعنی
قضیه شرطیه مذکور، به طور معمول به هنگام نتیجه‌گیری در ذهن صراحت پیدا نمی‌کند، آن را «قیاس خفی» می‌خوانند.
وقتی اجزاء این قیاس به طور کامل بیان گردد، معلوم می‌شود که آن از نوع
قیاسهای استثنایی است که در آن از رفع تالی، رفع مقدم نتیجه شده است. صغرای این قیاس چنانکه اشاره شد، بیان‌کنندۀ مشاهدۀ جزئیات است و کبرای آن، یعنی قضیۀ شرطیه، به نام
قضیه اتفاقی معروف است. تعبیر رایج قضیۀ اتفاقی چنین است: «الاتفاقی لایکون دائماً او اکثریاً».
تعبیر دیگری از این قضیه نیز در «
شرح الاشارات»
خواجه نصیرالدین طوسی آمده که چنین است: «الوقوع المتکرر علی نهج واحد لایکون اتفاقیاً».
این دو تعبیر خود ترجمۀ عباراتی است که ارسطو در کتاب فیزیک و به هنگام توضیح «امر اتفاقی» به کار برده است.
چنانکه ذکر شد، به اعتقاد ابن سینا این قضیه، کبرای تصریح نشدۀ استدلالی است که ذهن برای نتیجه گرفتن همۀ قضایای تجربی به کار می‌برد و حصول یقین تجربی در هر مورد حاصل این استدلال، و کبرای آن است.
از معاصران،
محمدباقر صدر مشکل استقرا را مورد بحث قرار داده است. هدف او همچون ابن سینا توجیه یقین تجربی و توضیح چگونگی حصول آن است. وی پیش از پرداختن به بیان نظریۀ خود به نقد و بررسی نظریۀ ابن سینا و برخی از فلاسفۀ مغرب زمین می‌پردازد. چنانکه دانستیم ابن سینا اعتقاد به درستی قضایای تجربی را ناشی و حاصل از یک استدلال قیاسی می‌داند که صغرای آن مأخوذ از مشاهدات و کبرای آن قضیۀ اتفاقی است. نقد صدر نیز متوجه کبرای همین قیاس است. همانگونه که وی توضیح می‌دهد، مفاد قضیۀ اتفاقی در اینجا چنین است که «اگر به طور مستمر بین دو پدیده به هنگام وقوع مقارنت مشاهده شود، بین آنها رابطۀ سببیت وجود دارد».
وقتی که کبرای قیاس بدین صورت تعبیر شود، به وضوح می‌توان ملاحظه کرد که آن صادق نیست؛ زیرا روشن است که مفهوم «دوام» اعم از «ضرورت» است، و از دوامِ مقارنت دو پدیده نمی‌توان وجود ربط ضروری را در بین آنها نتیجه گرفت. با این حال، او به طرق مختلف سعی می‌کند تا نادرستی این قضیه را هرچه بیشتر نشان دهد. وی ابتدا فرض می‌کند که این قاعده همانند
اصل امتناع تناقض بیان‌کنندۀ یک حقیقت عقلی است، آنگاه توضیح می‌دهد که اگر این قاعده همانند اصل امتناع تناقض یک حقیقت عقلی و قبلی شمرده شود، باید انکار آن مستلزم تناقض باشد. لیکن در حقیقت چنین نیست؛ زیرا می‌توان عالمی را تصور کرد که در آن تصادف نسبی دو پدیدۀ مفروض دائمی باشد و در آن دو امری که فاقد ربط ضروری است، به طور دائم در پی یکدیگر واقع شوند (البته وی می‌پذیرد که عالم واقعی ما چنین نیست). او سپس فرض می‌کند که قضیۀ اتفاقی بیان‌کنندۀ یک حقیقت تجربی است و در این باره نیز می‌گوید: از آنجا که در این نظریه هر قضیۀ تجربی نتیجۀ تشکیل یک قیاس خفی است و قضیۀ اتفاقی کبرای این قیاس خفی است، تجربی شمردن این قضیه نیز مستلزم دور خواهد بود. از این‌رو، آن را نیز مردود می‌شمارد.
صدر آنگاه اعتراضهای متعدد دیگری بر این قاعده وارد می‌کند.
این اعتراضها جملگی مبتنی بر مفهوم «علم اجمالی به نفی غیرمحدَّد» است. به نظر صدر در قضیۀ اتفاقی «از دو پدیده‌ای که رشتۀ سببیت آنها را به یکدیگر مرتبط نکرده است، سرانجام یکی بدون دیگری رخ خواهد داد». این همان ادعای علم اجمالی به نفی غیرمحدَّد یا نامشخص است. بر اساس این تفسیر است که او قضیۀ اتفاقی را نادرست، و قیاسی را نیز که بر این قضیه مبتنی است، مردود می‌شمارد. صدر پس از مردود شمردن قضیۀ اتفاقی، و نادرست دانستن نظریۀ قیاس خفی، برای توجیه یقین تجربی چارچوب متفاوتی پیشنهاد می‌کند که مبتنی بر نظریۀ احتمالات است.
هیوم،
کانت و برخی از فلاسفۀ دیگر مدعی شده‌اند که اگر
اصل علیت را بپذیریم، می‌توان قضایای کلی تجربی را به عنوان نتیجۀ یک
استدلال قیاسی استنتاج کرد. از آنجایی که ابن سینا معتقد به اصل علیت است و همچنین مدعی است که یقین تجربی ناشی از یک استدلال قیاسی است، شایسته است که گفته‌های ابن سینا در این باب بازنگری، و ملاحظه شود که آیا می‌توان در آنها استدلال قیاسی قابل قبولی در توجیه نتایج ادلۀ استقرایی ملاحظه کرد؟
بازسازی قیاسی یقین تجربی بر اساس نظریۀ ابن سینا مستلزم توجه به پاره‌ای از نکاتی است که وی در تکمیل بحث خود از قیاس خفی و کبرای اتفاقی مطرح کرده است. ابن سینا در ادامۀ بحث خود بیان دیگری از نحوۀ حصول یقین تجربی به روش قیاسی به دست می‌دهد که در آن قاعدۀ اتفاقی در مقایسه با آنچه قبلاً یاد شد، نقش محدودتری دارد. در اینجا بحث مستقیماً با استناد به اصل علیت شروع می‌شود. ابن سینا چنین گوید: «وقتی امری پدید آید که (براساس اعتقاد به اصل علیت) می‌دانیم لامحاله نیازمند به علت است و سپس این پدیده با حصول پدیدۀ دیگری تکرار شود، خواهیم دانست که علتی تکرار می‌شود. در این صورت این پدیده (یعنی پدیده‌ای که با تکرار آن پدیدۀ دیگر تکرار می‌شود) یا همان علت است، یا مقترن به علت، یا اینکه این پدیده علت نیست. اما اگر این پدیده همان علت نباشد، یا بالطبع مقترن بدان علت نباشد، در اکثر موارد در پی وقوع آن، پدیده به وقوع نمی‌پیوندد. پس به ناچار باید نتیجه گرفت که این همان علت است و یا چیزی است که بالطبع مقترن بدان است».
چنانکه ملاحظه می‌شود، این بیان با ادعای نتیجه شدن قضایای تجربی از مشاهدات و قاعدۀ اتفاقی شروع نمی‌شود، بلکه سخن از وقوع پدیده‌هایی است که بر اساس اعتقاد به اصل علیت، می‌دانیم لامحاله دارای علتی است. در عین حال، فرض بر این است که مشاهده می‌کنیم پدیدۀ مورد بحث با تکرار واقعۀ دیگری تکرار می‌شود. فقط در این مرحله است که برای یکی شمردن واقعۀ تکرارشونده با علت مورد انتظار به قاعدۀ اتفاقی استناد می‌شود و آن بدینگونه است که می‌گوییم: اگر آنچه با تکرار آن، پدیدۀ مورد مطالعه تکرار می‌شود، علت نمی‌بود، همیشه یا در اکثر موارد با
حدوث آن، پدیدۀ مورد مطالعه حادث نمی‌شد. پس باید بپذیریم که این پدیده همان علت است، یا جزئی از آن. چنانکه از این گفتۀ ابن سینا به خوبی روشن است، برخلاف آنچه گاهی ادعا می‌شود، در اینجا قاعدۀ اتفاقی به هیچ‌وجه در تبدیل رابطۀ دوام به رابطۀ ضرورت ــ که انجام نیافتنی است ــ نقشی ندارد؛ بلکه به اعتقاد ابن سینا از ابتدا با پدیده‌ای مواجهیم که به اقتضای اعتقاد به اصل علیت می‌دانیم که لامحاله دارای علتی است. آنچه باقی می‌ماند، کشف و شناسایی آن علت است؛ و برای همین منظور به قاعدۀ اتفاقی استناد می‌کنیم. این استناد چنین است که می‌گوییم: اگر پدیده‌ای که با وقوع آن پدیدۀ دیگر تکرار می‌شود، همان علت نمی‌بود، همیشه یا در اکثر موارد با وقوع آن، پدیدۀ دیگر به وقوع نمی‌پیوست؛ اما مشاهده نشان می‌دهد که با وقوع آن، همیشه یا در اکثر موارد پدیدۀ دیگر رخ می‌دهد. بنابراین، این پدیده همان علتی است که می‌دانیم موجود است. به خوبی می‌توان ملاحظه کرد که در اینجا نقش قاعدۀ اتفاقی، مشابه همان نقشی است که در منطق استقرایی جان استوارت میل به روشهای توافق، اختلاف، تغییرات متقارن و غیره، داده شده است، یعنی کشف و شناسایی علل.
بیان ابن سینا در این باره چنین است: «سخن ما این نیست که تجربه عاری از خطاست... ، بلکه سخن این است که در موارد بسیار بر اثر تجربه برای ما یقین حاصل می‌شود و از خود می‌پرسیم که سبب پیدایش این یقین چیست؟ و ملاحظه می‌کنیم که این یقین در مواردی حاصل می‌شود که ما اطمینان یابیم که شئ
بالعرض (به جای شئ
بالذات) اخذ نشده است. و این (اطمینان به عدم اخذ شئ بالعرض) در صورتی حاصل می‌شود که اوصاف شئ بر ما معلوم باشد و سپس مشاهده کنیم که همیشه، یا در بیشتر موارد با پدید آمدن آن، چیز دیگر پدید می‌آید و چون آن پدید نیاید، آن چیز دیگر نیز پدید نمی‌آید».
در این عبارات، ابن سینا از این واقعیت شروع می‌کند که در موارد بسیار می‌دانیم که بر اثر تجربه برای انسان یقین حاصل می‌شود. سؤال ابن سینا این است که در این موارد چگونه حاصل می‌شود؟ آنگاه پاسخ می‌دهد که این یقین در جایی حاصل می‌شود که اطمینان یابیم غیر علت را به جای علت اخذ نکرده ایم؛ و این اطمینان نیز به نوبۀ خود در صورتی حاصل می‌شود که اوصاف آنچه علت می‌خوانیم، بر ما معلوم باشد و آنگاه ملاحظه کنیم آن شئ با اوصاف خاص چون موجود شود، پدیدۀ معلول نیز پدید می‌آید و چون موجود نشود، پدیدۀ معلول نیز به وجود نمی‌آید. در این صورت می‌توان نتیجه گرفت که آن شئ با آن وصفِ معین، علتِ آن معلول است.
اگر شئ با وصف معین را C و پدیدۀ معلول را E و عدم آنها را به ترتیب با C و E نشان دهیم، از ترکیب آنها ۴ حالت قابل تصور است: CE، CE ، CE و CE . برای اینکه نشان دهیم C علت E است، باید نشان دهیم که حالتهای دوم و سوم وجود ندارد. این نکته را که اساس روش استقرای حذفی
جان استوارت میل است، ابن سینا در پایان سخن خود چنین گفته است: پدیده‌ای که علت شمرده می‌شود، باید چنان باشد که با وجود آن پدیدۀ معلول به وجود آید و چون موجود نشود، آن پدیده نیز موجود نشود. در این صورت می‌توان گفت که پدیدۀ نخست علت پدیدۀ دوم است.
بنابراین، استنتاج یک قضیه تجربی از نظر ابن سینا مبتنی بر این مراحل است: ۱. اعتقاد به اصل علیت؛ ۲. مشاهدۀ پدیدۀ E که به اقتضای اعتقاد به اصل علیت وقوع آن نیازمند به علت است؛ ۳. مشاهدۀ اینکه پدیدۀ E با تکرار پدیده‌ای دیگر (پدیدۀ C) تکرار می‌شود و شناخت اوصاف این پدیدۀ دیگر؛ ۴. تشکیل یک قیاس خفی بر اساس این کبرى که اگر C همان علت E (که می‌دانیم لامحاله موجود است) نمی‌بود، با وقوع آن، پدیدۀ E دائماً تکرار نمی‌شد و با عدم آن، پدیدۀ E معدوم نمی‌بود.
از ملاحظۀ شرایط ۱-۴ به خوبی می‌توان دانست که قضیۀ تجربی هر چند در نهایت نتیجۀ یک استدلال قیاسی است، اما این بدان معنی نیست که نتیجۀ این قیاس بالضروره صادق است. برعکس، ابن سینا تصریح می‌کند که نتیجۀ چنین قیاسی می‌تواند نادرست باشد؛ نه به این دلیل که صورت این قیاس، و یا کبرای آن نادرست است، بلکه به این دلیل که صغرای آن مبتنی بر مشاهدات غیرکافی است. مشاهدات بعدی ممکن است نشان دهد که مرحلۀ ۳ تحقق نیافته است. آنچه با تکرار آن، واقعۀ E تکرار می‌شود، نه مطلق C، بلکه C همراه با شرایط خاص و اوصاف ویژه بوده است. مثلاً شرب هر سقمونیا اسهال صفرا را به دنبال ندارد، بلکه تنها در پی استعمال سقمونیا از نوع خاص و با شرایط خاص اسهال صفرا پدید می‌آید. این نکته را ابن سینا چنین بیان می‌کند که حصول یقین تجربی در جایی حاصل می‌شود که اوصاف شئ مورد مطالعه بر ما معلوم باشد و مشاهدۀ مکرر بر ما معلوم کند که در چه شرایطی پدیده‌ای پدیدۀ دیگر را به دنبال دارد.
از این ملاحظات نتیجه می‌گیریم که اولاً قضیه تجربی را نتیجۀ یک استدلال قیاسی دانستن به معنای صدق ضروری قضیۀ تجربی نیست، زیرا
صغرای قیاس بر اساس مشاهدۀ واقعیتهای ممکن است. ثانیاً، یقین تجربی در جایی حاصل خواهد شد که اوصاف شئ معلوم باشد و از طریق مشاهده بتوان دانست که با تحقق کدام شرایط پدیدۀ مورد نظر تحقق می‌پذیرد. یقین تجربی در صورتی نادرست خواهد بود که در شناخت اوصافی که با تحقق آن پدیدۀ مورد مطالعه تحقق می‌پذیرد، خطا رخ دهد. تعبیر ابن سینا در اینجا چنین است که نادرستی نتیجۀ قیاس به این دلیل است که «ما بالعرض» به جای «ما بالذات» اخذ شده است. اهمیت اساسی این نکات موجب شده است که ابن سینا در پایان بحث خود همچنان تأکید نماید که نتیجۀ قیاس مذکور، یعنی
قضیه تجربی، هیچ‌گاه یک قضیۀ کلی مطلق نیست، بلکه همیشه یک
قضیه کلی مشروط است.
اینگونه از استقرا فعالیتی است که به اعتقاد
ارسطو از طریق آن ذهن به ادراک اصول کلی فلسفی، مانند اصل علیت و مفاهیمی چون
قوه و
فعل، و نیز ذوات کلی متحقق در جزئیات نائل می‌شود. حصول این ادراکات هرچند به معنایی با مشاهدۀ مکرر (و در مورد ذوات متحقق در جزئیات با ادراکات حسیِ مکرر) مرتبط است، لیکن نقش آن تنبیهی است و به معنای استقرای تام، یا ناقص نیست. به گفتۀ ارسطو حصول اینگونه ادراکات در ذهن به مثابۀ بازسازی لشکر پراکنده‌ای است که پس از جنگ نخست یک نفر از آن در نقطه‌ای می‌ایستد و سپس افراد دیگر به او ملحق می‌شوند تا صورت نخستین آرایش سپاه بازسازی شود.
بدیهی است که اگر ادراک کلیات و اصول و مفاهیم مابعدالطبیعی را بدین معنی بتوان «استقرایی» خواند، تنها به اشتراک لفظ خواهد بود، زیرا چنانکه معلوم شد، هر دو قسم از استقرا دارای ساختاری است که استقرای شهودی فاقد آن است. در عین حال، قابل ذکر است که ارسطو اعتبار علمی اینگونه ادراکات را برتر از نتایج حاصل از کاربرد قیاس و استقرا می‌داند.
واژۀ استقرا را نخستین‌بار
ابوبکر محمد کرجی (د ح ۴۱۰ق/ ۱۰۱۹م) برای روش حل دستگاههای
معادلات سیاله (امروزه: بررسی نامعین) به کار برده است و ریاضی‌دانان پس از وی همچون
سموأل از وی پیروی کرده‌اند. درواقع این اصطلاح ــ با این معنی ــ هیچ ربطی به استقرای مطرح شده در منطق ارسطویی ندارد.
کرجی در کتاب «
الفخری» در شرح این اصطلاح چنین آورده است: استقرا در
حساب آن است که جمله‌ای (با یک یا چند مجهول) از یک جنس یا دو جنس یا سه جنس متوالی به تو بدهند و این جمله تنها برای بعضی از مقادیرِ متغیرها مربع کامل باشد و برابر مربع عددی مجهول باشد و بخواهی تا این مقادیر را بیابی. سپس می‌افزاید: معادلات سیاله در حالت کلی پاسخهای بسیار دارند، اما از میان همۀ پاسخها، تنها پاسخهایی را که جزو
اعداد صحیح هستند، می‌پذیریم.
با توجه به اینکه ریاضی‌دانان قدیم پاسخهای برابر صفر را به شمار نمی‌آورده، و اعداد منفی را نیز به کار نمی‌برده‌اند، منظور کرجی از اعداد صحیح در عبارت یاد شده
اعداد طبیعی بوده است؛ اما وی در معادلات این کتاب پاسخهای کسری را نیز پذیرفته، و در عمل دامنۀ پاسخها را مجموعۀ اعداد گویا انتخاب کرده است و با آنکه او در همانجا واژۀ مُنطِق (= گویا) را به کار برده، در این تعریف به جای اعداد منطق ــ شاید از روی فراموشی ــ اعداد صحیح آورده است. کرجی در
البدیع این اصطلاح را چنین تعریف کرده است: «استقرا جست‌وجوی مقادیر است تا مطلوب یافت شود».
این تعریف به همان نسبت که تعریفی عام است، کارآیی کمتری دارد. با توجه به اینکه کرجی در تعریف خود برای همۀ متغیرها نامی واحد به کار برده است، معادلات (دستگاه) سیالۀ وی را می‌توان به زبان ریاضی امروز چنین بیان کرد:
با آنکه در تعریف کرجی یک سوی معادله همیشه مربع کامل است، اما در «الفخری» و نیز در البدیع معادلات بسیاری آمده‌اند که در این تعریف نمی‌گنجند. کرجی در «الفخری» معادلات را به ۵ طبقه تقسیم کرده است و معادلات سیاله را به صورت پراکنده در طبقات ۲-۵ آورده است. تنها در طبقۀ اول این کتاب معادلۀ سیاله وجود ندارد، مثلاً معادلات (یا دستگاه معادلات) شم ۲۲-۳۳، ۵۰ از طبقۀ ۲ و شم ۱-۴، ۳۶-۴۵، ۵۰ از طبقۀ ۳ سیاله، و دیگر معادلات این دو بخش غیر سیاله‌اند.
پیش از کرجی، چینیان، هندوان، یونانیان و مسلمانان به بررسی و حل معادلات سیاله پرداخته بودند، اما چینیان از حل دستگاههای سیالۀ خطی و به خصوص مسائل مشهور به «مسائل پرندگان» فراتر نرفته بودند.
در میان یونانیان
دیوفانتوس در کتاب
آریثمتیکا به تفصیل به این موضوع پرداخته است. از میان دانشمندان مسلمان پیش از کرجی نیز
ابوکامل شجاع بن اسلم مصری،
ابوجعفر خازن، و
ابوالوفای بوزجانی به این مسائل توجه داشته‌اند که در میان آنان، ابوکامل بیش از دیگران در این راه پیش رفته است، تأثیر آریثمتیکای دیوفانتوس بر ابوکامل هنوز ثابت نشده است و ممکن است روش ابوکامل در حل معادلات خطی درجۀ دوم، حاصل پژوهشهای مستقلی باشد، در حالی که کرجی قطعاً شماری از معادلات سیالۀ خود را از دیوفانتوس ریاضی‌دان یونانی گرفته است و فرانتس ووپکه و ژاک سزیانوبه شباهتهای روشهای آن دو اشاره کرده‌اند.
روش هندیها در حل این معادلات در زمان خود شاهکاری ریاضی به شمار می‌رفته است و با آنکه میان این روشها و روشهای یونانی حل این معادلات شباهتهایی نیز وجود دارد، اما این دو روش ــ در هر جا که تفاوتی ممکن باشد ــ با یکدیگر تفاوت دارند.
در اینجا برای مقایسۀ روشهای استقرایی هندی، یونانی و روش کرجی مثالهایی یاد می‌شود:
هندوان برای حل معادله‌ای که با عنوان پل (به نام
جان پل) مشهور است، بسیار کوشیده‌اند. معادلۀ پل بدین شکل است: x۲-Dy۲=۱، با توجه به اینکه قدما اعداد منفی را در نظر نمی‌گرفتند، این معادله به زبان ریاضی امروز اینگونه مطرح می‌شده است: x۲+۱=Dy۲ (پاسخهای بی‌ارزش x=۰, y= +۱ خارج از بحثند).
الف ـ لم بر همگوپته (د ۵۹۸م): اگر (p, q) پاسخی از معادلۀ x۲=Dy۲+s و (p, q) پاسخی از معادلۀ x۲=Dy۲+s باشند، آنگاه یک جوابِ معادلۀ x۲=dy۲+s چنین خواهد بود:
به ویژه اگر s مساوی با s باشد، x=p۲+Dq۲؛ y=۲pq یک جواب معادلۀ x۲=Dy۲+s۲ است.
ب ـ روش بهاسکرۀ دوم (د ۱۱۸۵م): وی با روشی که موسوم به روش حلقوی است و با استفاده از لم برهمگوپته و نتایج آن به زیبایی معادلۀ پل را حل کرده است:
دو عدد متباین p و q و مقدار s را چنان برمی‌گزینیم که در معادلۀ p۲=Dq۲+s (۱) صدق کنند (s حتی‌الامکان کوچک باشد).
عددی مانند X تعیین می‌کنیم به طوری که عدد p+q x/ s صحیح باشد، در این صورت به ازاء ه٪ تصحیح K عدد p+q(x+ks)/ s مقداری صحیح است. برای سهولت محاسبه k را چنان برمی‌گزینیم که مقدار (x+ks)۲=-D کمترین مقدار باشد، فرض می‌کنیم که:
بهاسکره بر آن است که علاوه بر q۱ که صحیح بودن آن واضح است، اعداد p۱ و s۱= نیز صحیحند، اما آن را اثبات نکرده است. اثبات این نکته بسیار ساده، و از طریق حذف s میان رابطۀ (۱) و رابطۀ تعریف q۱ امکان‌پذیر است. سپس مقداری برای s۱ به دست می‌آید، اگر این مقدار برابر +-۱ یا +-۲ باشد طبق لم برهمگوپته می‌توان برای معادلۀ پل یک پاسخ به دست آورد.
برای مثال معادلۀ x۳+y۳=z۲ را در نظر می‌گیریم،
و سپس به عنوان مثال چنین فرض می‌کند: m=۲ و n=۶. اما کرجی از ابتدا این مقادیر را تعیین می‌کند. در مواردی مسألۀ مطرح شده توسط دیوفانتوس و کرجی یکی هستند، اما اعدادی که به عنوان مثال ذکر شده است، و در نتیجه پاسخها متفاوتند. مانند این مثال:
دیوفانتوس چنین فرض می‌کند: y=nt و n=۱؛ در نتیجه با فرض x=m+t۲ خواهیم داشت t=m/ ۱۰۰. پاسخ معادله در ازای m=۳۰۰ (و در نتیجه t=۳) چنین خواهد شد: x=۲۷۰۰؛ y=۳؛ z۳=۲۷۰۰۰=۳۰۳.
اما کرجی با فرض (t=۲)m=۲۰۰ این مقادیر را به دست آورده است: x=۸۰۰۰؛ y=۲؛ z۳=۸۰۰۰=۲۰۳
البته کرجی در البدیع معادلات جدیدی مطرح کرده است. وی کتاب مستقلی نیز دربارۀ استقرا به همین نام نوشته بوده که نشانی از آن باقی نمانده است.
مصاحب شرح کاملی دربارۀ معادلات سیاله و مسائل تاریخی مربوط به آنها نوشته است.
استقرای ریاضی در واقع همان استقرای منطق ارسطویی است و نخستین کسی که به طور منظم بدان پرداخته،
پئانو است. اصل استقرا ابتدا از عدد صحیح m چنین بیان می‌شود: اگر p خاصیتی مربوط به اعداد طبیعی باشد و داشته باشیم: p(m) (یعنی خاصیت p برای m صحیح است) و به ازای هر عدد طبیعی اگر p(n) آنگاه p(n+۱).
این نوع استقرا را استقرای ضعیف (یا استقرا با یک مقدمه: p(m)) می‌نامند. هرگاه استقرا به طور مطلق گفته شود، منظور استقرای ضعیف ابتدا از یک است. اگر شمار مقدمات بیش از یک باشد، استقرا را استقرای قوی می‌نامند. مثلاً استقرای قوی (با دو مقدمه) و ابتدا از یک چنین است:
فرض می‌کنیم p خاصیتی مربوط به اعداد طبیعی باشد، به طوری که: P(۱) و P(۲) و به ازای هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از یک n اگر P(n-۱) و P(n)، در این صورت جمیع اعداد طبیعی خاصیت P دارند.
محمد یادگاری بر آن است که استقرای ریاضی حتى در میان یونانیان سابقه داشته، و نیز ابوکامل در اثبات مسأله‌ای از آن سود برده است.
نیز به کاربرد شیوه‌ای مشابه توسط سموأل اشاره کرده است. اما این دو روش هر دو با آنچه پیش‌تر گفته شد، تفاوت دارند و مبنای استدلال در آن بر پایۀ تعمیم مشاهدات است و به همین سبب کاملاً شبیه به استقرایی که در دیگر مباحث منطقی به کار می‌رود.
(۱) ابن سینا، الاشارات و التنبیهات، تهران، ۱۳۷۷ق.
(۲) ابن سینا، دانشنامۀ علایی، به کوشش احمد خراسانی، تهران، ۱۳۶۰ش.
(۳) ابن سینا، الشفاء، منطق، به کوشش ابوالعلاء عفیفی، قاهره، ۱۳۷۵ق/ ۱۹۵۶م.
(۴) ابن سینا، النجاة، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، تهران، ۱۳۶۴ش.
(۵) ارسطو، «تحلیلات اولى»، «تحلیلات ثانیة»، «جدل»، منطق ارسطو، به کوشش عبدالرحمان بدوی، کویت، ۱۹۸۰م.
(۶) ارسطو، الطبیعة، ترجمۀ اسحاق بن حنین، به کوشش عبدالرحمان بدوی، قاهره، ۱۳۸۴ق/ ۱۹۶۴م.
(۷) صدر، محمدباقر، الاسس المنطقیة للاستقراء، بیروت، ۱۹۷۲م.
(۸) فارابی، «القیاس»، «القیاس الصغیر»، «الجدل»، المنطق عند الفارابی، به کوشش رفیق عجم، بیروت، ۱۹۸۶م.
(۹) نصیرالدین طوسی، «شرح الاشارات».
(۱۰) دیوفانتوس، «المقالة الرابعة فی المربعات و المکعبات...»، ترجمۀ کهن قسطا بن لوقا بعلبکی (مل، سزیانو).
(۱۱) سعیدان، احمدسلیم، تاریخ علم الجبر فی العالم العربی، عمان، ۱۹۸۳م.
(۱۲) کرجی، محمد، البدیع فی الحساب، به کوشش عادل انبوبا، بیروت، ۱۹۶۴م.
(۱۳) کرجی، محمد، «الفخری فی الحساب» (سعیدان).
(۱۴) مصاحب، غلامحسین، تئوری مقدماتی اعداد، تهران، ۱۳۵۵-۱۳۵۸ش.
(۱۵) .Aristotle، Topica
(۱۶) .D.، «The Problem of Induction»، Readings in Introductory Philosophical Analysis by J. Hospers، London، ۱۹۶۸
(۱۷) .Plato، Phaedrus
(۱۸) .Russell، B.، History of Western Philosophy، London، ۱۹۶۱
(۱۹) .Weinberg، J. R.، Abstraction، Relation، and Induction، Wisconsin، ۱۹۶۵
(۲۰) .Djafari Naini، A.، Geschichte der Zahlemtheorie im Orient، Brunswick، ۱۹۸۲
(۲۱) .Sesiano، J.، Books IV to VII of Diofantus، Arithmetica... ، New York، ۱۹۸۲
(۲۲) .Woepcke، F.، Extrait du Fakhrî، Paris، ۱۸۵۳
(۲۳) .Yadegari، M.، «The Use of Mathematical Induction...»، Isis، Baltimore، ۱۹۷۸
یونس کرامتی-محمد علی اژه‌ای، دائرة المعارف بزرگ اسلامی، برگرفته از مقاله «استقرا».
