محمد بن موسی خوارزمی
ذخیره مقاله با فرمت پی دی اف
محمد بن موسی خوارزمی، ریاضی‌دان و منجم مشهور دوره اسلامی در
قرن سوم هجری قمری در
خوارزم بود. وی از مهم‌ترین دانشمندان جامع الاطراف در دوره سه خلیفه عباسی
مامون،
معتصم، و
واثق عباسی به‌شمار می‌آید. او به‌سبب فعالیت‌های علمی‌اش به شهرتی فراگیر در عالم اسلام دست یافت.
خوارزمی، محمد بن موسی، از مهم‌ترین دانشمندان جامع الاطراف در دوره سه خلیفه عباسی، یعنی مأمون (حک:
۱۹۸_
۲۱۸ق)، معتصم (حک: ۲۱۸_
۲۲۷ق) و واثق (حک: ۲۲۷_
۲۳۲ق) به‌شمار می‌آید. او به‌سبب فعالیت‌های علمی‌اش به شهرتی فراگیر در عالم اسلام دست یافت؛ با وجود این، سوانح حیات او چندان روشن نیست. باتوجه به نامش، وی اهل خوارزم (یا اصالتآ از این شهر) بوده است. ظاهرآ سال تولد خوارزمی در حدود
۱۶۰ق است. از منابع تاریخی درباره دوران کودکی و نوجوانی وی، یا تاریخ ورود او یا خانواده‌اش به
بغداد اطلاعی به دست نمی‌آید.
طبری از وی با لقب
مجوسی یاد کرده است، بنابراین نیاکان او احتمالا
زردشتی بوده‌اند. درباره علم‌آموزی وی در خوارزم یا بغداد نیز اطلاعی در دست نیست، به‌جز این‌که در مؤسسه علمی ـ فرهنگی بیت الحِکمه بغداد به فعالیت مشغول بوده است.
براساس گزارش مقدسی،
واثق عباسی او را در مأموریتی نزد حاکم خزر فرستاد. دیگر دانسته‌ها درباره زندگی خوارزمی منحصر به چند گزارش از فعالیت‌های نجومی وی در بغداد است.
خوارزمی سه اثر در ریاضی تألیف کرده که قدیم‌ترین آنها کتاب
الجمع و التفریق است و نسخه‌ای از آن در دست نیست. در این اثر، به برخی جنبه‌های قواعد محاسبات (حساب) «محلی» پرداخته می‌شود. اثر دوم، کتاب معروف او
الجبر و المقابله است. خوارزمی این اثر را بین سال‌های ۱۹۸ تا ۲۱۸ نگاشته، زیرا او
تصریح دارد بر این‌که آن را به تشویق مأمون نوشته است. کتاب سوم (که در آن، از دو اثر قبلی یاد شده) حساب
العدد الهندی است. از متن عربی این اثر نسخه‌ای به‌جا نمانده، اما از ترجمه لاتین (یا به تعبیر دقیق‌تر از ویرایش‌های
متعدد لاتین) آن نسخه‌هایی موجود است.
(برای آشنایی با تحلیل نسخه‌شناسی آنها به آدرس ذیل رجوع کنید.
) در گذشته، برخی پژوهشگران تاریخ علم تصور می‌کردند الجمع و التفریق عنوان دیگری برای کتاب حساب
العدد الهندی است. اما بر اساس پژوهش‌های انجام شده در دهه‌های اخیر، الجمع و التفریق را باید اثری مستقل از خوارزمی به‌شمار آورد.
خوارزمی در این سه کتاب، به موضوعاتی چون عملیات حساب و جبر و نخستین کاربردهای آن در مسائل مرتبط با معاملات و
ارث پرداخته است.
این کتاب تبیین روش‌هایی از حساب است که پیش از اشاعه روش حساب هندی در قلمرو اسلامی رواج داشته است.
این‌روشها به کارکرد «حساب انگشتی و ذهنی» مربوط است که در قرن سوم بسیار رواج داشت و با نام‌هایی چون حساب الید، حساب العقود، حساب مفتوح، و حساب هوایی در سرزمین‌های اسلامی شناخته می‌شد. این‌گونه آثار حساب معمولا مسائلی چون تضعیف، ضرب، تقسیم و همچنین عملیات بر روی کسرها را شامل می‌شدند. در کتاب خوارزمی، علاوه بر این موارد، مسئله محاسبه مجموع توان‌های دو (۶۳۲... + ۴ + ۲ + ۱) نیز آمده که به مسئله تضعیف خانه‌های شطرنج معروف است.
در دوره اسلامی، این تنها کتابی نبوده که در عنوانش نام جمع و تفریق آمده است.
ابن ندیم از آثار دیگر ریاضی‌دانان با همین عنوان یاد کرده، به‌علاوه، وی به تفسیر صَیدنانی از این کتاب خوارزمی نیز اشاره کرده است.
برخی ریاضی‌دانان دوره اسلامی در آثار خود به مطالبی از این کتاب ارجاع داده‌اند، چنان‌که ابوکامل در کتاب الجبر و المقابله
به مسئله تضعیف خانه‌های شطرنج در اثر خوارزمی اشاره کرده و چون این مسئله در کتابهای حساب هندی و جبر و مقابله خوارزمی نیامده است، ابوکامل باید آن را از الجمع و التفریق خوارزمی اقتباس کرده باشد. به‌علاوه،
عبدالقاهر بن طاهر بغدادی در التکملة فی الحساب،
مسئله‌ای درباره
زکات را با ذکر نام از این اثر خوارزمی نقل کرده است.
به عقیده پژوهشگران تاریخ ریاضی، تکوین شاخه جبر به مثابه رشته‌ای مستقل در ریاضیات (از حیث نام، عناصر و موضوعات مستقل، روش‌های حلی، ادلّه و زمینه‌های کاربردی)، رسمآ با کتاب جبر و مقابله خوارزمی صورت گرفته است. این رساله حاوی دو بخش اصلی و مقدمه‌ای است که از حیث تاریخ علم اهمیت دارد. از این مقدمه درمی‌یابیم که مأمون عباسی از خوارزمی خواسته بود کتابی درباره جبر تحریر کند تا ابهامات را روشن و دشواری‌های) این علم را آسان گرداند. بخش آخر مقدمه نمایش دقیقی از ماهیت و اهدافی است که اثر دنبال می‌کند. به نوشته خوارزمی،
این کتاب خلاصه‌ای از ظریف‌ترین و گران‌قدرترین عملیات حسابی است که مردم (برای تقسیم میراث، وصایا، احکام، و به منظور تجارت و کلیه معاملات در مورد مساحی، حفر قناتها، مهندسی و سایر جنبه‌ها و فنون) بدان نیاز دارند.
بخش اول کتاب، از دید پژوهشگران تاریخ جبر مهم‌ترین بخش اثر به‌شمار می‌آید. این بخش به چند فصل تقسیم می‌شود. خوارزمی، در فصل اول،
پیش از توضیح موضوعات جبری، مانند
اعداد (صحیح مثبت و کسری)، بحث جذر و مجذور (مال)، با یادآوری شمارش دهدهی بحث را آغاز می‌کند. سپس، شش معادله اصلی را به صورت نوشتاری و بدون استفاده از هیچ‌گونه نماد معرفی می‌کند، توضیحات وی از نظمی پیروی می‌کند که مبتنی بر ماهیت اجزا و
اعداد به‌کار رفته در دو سوی معادله است. سپس خوارزمی هر کدام از انواع معادله‌های معرفی شده را با مثال‌هایی شرح داده است که طی آنها وی ضریب جمله اول را تغییر می‌دهد، و آن را برابر، بیشتر یا کمتر از یک قرار می‌دهد. سپس برای هر مثال، روش حل معادله عرضه شده است.
معادلات شش‌گانه خوارزمی
براساس نمادهای جبری جدید به این صورت بیان می‌شوند :aX= c (۲ aX= b (X (۱aX + b (X = c (۴ b (X = c (۳b (X+c=aX (۶ aX+c=b (X (۵ در این معادلات، X مقدار مجهول
و a، b، c مقادیر
عددی مثبت‌اند. اگر ۲X = x فرض کنیم، معادلات بالا، به ترتیب، به صورت‌های ذیل تحویل می‌شوند: = c ۲ax (۲ = bx ۲ ax (۱bx= c (۳ + bx = c ۲ ax (۴۲bx + c = ax (۶ + c = bx ۲ ax (۵ در معادلات سه جمله‌ای، نخست، روش‌های حل آنها به نحو کلی بیان شده، سپس به کمک ضرایب
عددی، نمونه‌هایی
عددی از انواع این معادلات حل شده است. این معادلات با ضرایب
عددی مذکور، طی سده‌های بعدی در آموزش جبر به‌عنوان الگو و نمونه به کار می‌رفتند.
برای مثال، خوارزمی نمونه
عددی معادله چهارم را به این صورت بیان می‌کند : «اموال و جذری معادل
عددی است، مثالش آن‌که بگویی مال و ده برابر جذر آن برابر سی و نه درهم باشد» (به زبان جبر امروز، مسئله حل معادله ۳۹x = ۱۰ + ۲x است.
آخرین بخش این فصل به شرح اثبات هندسی سه معادله درجه دوم و تحلیل وجود ریشه‌های مثبت آنها به کمک روش ترسیمی اختصاص دارد.
در فصل بعدی، خوارزمی در چند باب، به گونه‌ای نه چندان روشمند، عملیات سنّتی حساب (شامل جمع، تفریق، ضرب، تقسیم و جذر) را به موضوعات جبر بسط داده است.
نتایج برخی از این عملیات ریاضی به کمک برهانهایی (که می‌توان آنها را جبری دانست) توجیه شده است، هرچند خوارزمی از محمل‌های هندسی برای اثبات و برقرار کردن آنها بهره برده است. اما همان‌گونه که خوارزمی خود اذعان کرده، در تبیین هندسی معادلات کاملا موفق نبوده است، چنان‌که در مورد عبارت (۲x۲ - x۱۰ + ۵۰) + (x۲۰ - ۲x + ۱۰۰) می‌گوید شکل هندسی منطبق با آن وجود ندارد، زیرا از سه‌گونه مختلف مال (۲x)، جذر (x) و
عدد تشکیل شده است و برابر چیزی نیست که بتوان آن را از لحاظ هندسی تصویر کرد. هرچند او
نوشته است که به شکلی هندسی برای این عبارت جبری دست یافته که البته به عقیده وی رضایت‌بخش نبوده است؛ اما مسئله از حیث لفظی، واضح است. در همین فصل، خوارزمی به موضوعی می‌پردازد که بعدها با عنوان قاعده علائم جبری (+ و -) معروف شد. در واقع، خوارزمی عملیاتی را بر روی تک‌جمله‌ای‌های مثبت یا منفی انجام داده است (البته نه به معنای واقعی روی علائم جبری آنها). وی
روش کار را با مثال چنین بیان کرده است : «اگر بگوییم ده منهای شیئی (x) ضرب در ده منهای شیئی، می‌گویی: ده در ده، برابر صد؛ منهای شیئی ضرب در ده، برابر ده شیء منفی
یک بار دیگر منهای شیئی ضرب در ده، برابر ده شیء منفی؛ منهای شیئی در منهای شیئی، برابر مالی) ۲ (x مثبت
نتیجه صد به علاوه مالی) ۲ (xمنهای بیست شیئی (x۲۰-) است. به کمک نمادهای جبری امروز، این مطلب عبارت است از:x۲۰ - ۲x + ۱۰۰ = (x -۱۰) (x -۱۰) با بیان :۲x = (-x) ; (-x) x۱۰- = ۱۰ × (-x) ;۱۰۰ = ۱۰ × ۱۰نکته جالب توجه این است که خوارزمی «قاعده علائم» را به خود منسوب نمی‌کند و این بدین معنی است که پیشتر از خوارزمی، این روش در چهارچوب کارکردهای حساب سنّتی که بر مبنای ذهنی و انگشتی استوار بود شناخته شده بود و به کار می‌رفت. ذکر همین قاعده در کتاب التذکرة باصول الحساب و الفرائضِ
علی بن‌خضر قریشی در قرن پنجم
نیز این فرضیه را تأیید می‌کند، زیرا محتوا و روش اثر اخیر با سنّت روش‌های حسابی محلی مرتبط بود که پیش از انتشار جبر و مقابله خوارزمی رواج داشت. خوارزمی پس از طرح مطالب مقدماتی مذکور، در قالب حدود چهل مسئله کاربردی، بیشتر به کاربرد جبر (براساس روش‌های مطرح شده در فصل‌های قبلی) در دادوستد، پرداخته است.
در بخش دوم کتاب، که از نظر حجم مفصّل‌تر است، او در چند باب به حل مسائلی درباره معاملات تجاری
و مساحت شکل‌های هندسی
می‌پردازد. بخش آخر کتاب نیز به تفصیل به بحث تقسیم
ارث (کتاب الوصایا) در قالب مسائلی، بر مبنای
شرع اسلام، اختصاص یافته است. حل این مسئله‌ها به کمک روش‌های جبریِ مطرح شده در بخش اول صورت می‌پذیرد.
باتوجه به آنچه که امروزه درباره روش‌های بابلی، یونانی، هندی و چینی در حل مسائل جبری می‌دانیم، می‌توان گفت برای نخستین‌بار در کتاب جبر خوارزمی، مجموعه عناصر (توصیف، عملیات، الگوریتم، اثبات) در جبر یکجا گرد آمده‌اند و پیش از آن یا پراکنده و بی‌ارتباط بودند یا به روشنی و مستقل از مسائل جبری مطرح و فرمول‌بندی نشده بودند. خوارزمی همه این عناصر را بر مبنای منطقی که هدفش، به‌وضوح، متمایز ساختن این دو بخش از دیگر بخش‌های علم حساب است، برگزیده و جمع‌آوری کرده است. کتاب جبر و مقابله خوارزمی در قلمرو اسلامی رواج یافت و شرح‌هایی بر آن نگاشته شد.
این اثر پیش از قرن ششم/ دوازدهم به
اندلس رسید. نخست گراردوس کرمونایی در
شهر طُلَیطُلَه (تولدو) در آغاز قرن ششم آن را به لاتین ترجمه و لیبری این ترجمه را در مجموعه (تاریخ علوم ریاضی در ایتالیا) (پاریس ۱۸۳۸ـ۱۸۴۱)
چاپ کرده است و دیگر بار رابرت چستری آن را در همان سده ترجمه و هیوز این ترجمه را با عنوان) ترجمه لاتین رابرت چستری از جبر خوارزمی ((اشتوتگارت ۱۹۸۶) چاپ کرده است. این ترجمه‌ها سرآغاز آشنایی اروپاییها با علم جبر بوده است. به‌علاوه، براساس این ترجمه‌ها، مؤلفان در اندلس و مغرب با الهام از جبر و مقابله خوارزمی فصل‌هایی از کتابهای حساب را به جبر اختصاص می‌دادند؛ ترجمه برخی از این آثار ثانوی چون تلخیص اعمال الحساب
ابن بنّاء (قرن هفتم و هشتم) نیز موجب رونق چرخه علم جبر در اروپای قرون وسطا شد.
در کتاب حساب
العدد الهندی یا کتاب الحساب الهندی، خوارزمی نخست نظام عددنویسی هندی را معرفی می‌کند (یعنی نُه رقم و
عدد صفر و نیز روش عمل با این عناصر به منظور بیان
عدد صحیح مثبت)، سپس فصلی را به مفهوم «واحد» (
عدد یک) تخصیص می‌دهد. پس از آن، به بحث استفاده از چهار عمل اصلی حساب بر
اعداد صحیح مثبت به ترتیب جمع و تفریق، تضعیف، تقسیم بر دو، ضرب، آزمون درستی ضرب با اخراج مضرب‌های نُه و تقسیم می‌پردازد. در ادامه او به بحث انجام عملیات ضرب و تقسیم بر کسرهای عادی و شصتگانی ادامه می‌دهد و نتیجه بحث با توضیح روش‌های محاسبه جذر
اعداد صحیح و کسرها عرضه می‌گردد.
این کتاب در حساب کاربردی برای کاربران آن روزگار، دستگاه شمارش و الگوریتم‌های محاسباتیِ ملموس‌تر و مطمئن‌تری را نسبت به آنچه تا آن زمان وجود داشت، عرضه می‌کرد. این امر به سبب استفاده از صفر و نگارش ارزش مکانی ارقام (یکان، دهگان و...) میسر شد. البته خوارزمی با تدوین این اثر رشته‌ای جدید (مانند آنچه در کتاب جبرش به انجام رساند) بنیان نگذاشت، چنان‌که
قِفطی ضمن تحسین این اثر، آن را شرح و بسط اثری از هندیان درباره حساب
اعداد دانسته است. به علاوه، نظام
عددی معرفی شده در این اثر نیز پیشتر در قلمرو
ایران و هلال خَصیب (شامل بخش‌هایی از غرب ایران، بین‌النهرین در شرق و بخشی از جنوب دریای مدیترانه) شناخته شده بود. این نکته را سوروس سبخت (متوفی ۶۶۷ میلادی)، حکیم سریانی که به فعالیت‌های علمی و فلسلفی زمانش آگاه بود، تأیید کرده است.
هرچند در منابع تاریخی دوره اسلامی، ارجاع مستقیم به این اثر خوارزمی یافت نشده اما محتوای این اثر در سنّت ریاضی در کشورهای اسلامی، پس از قرن سوم، مورد استفاده و توجه بوده است. همچنین در جریان انتقال آثار علمی دوره اسلامی به اروپا، مترجمان اروپایی قرن ششم، نسخه‌هایی از این اثر را در اندلس یافته بودند. ترجمه این کتاب خوارزمی به لاتین موجب شد اروپاییان سه سده بعد از کشورهای اسلامی از نوع جدیدی از حساب آگاه شوند که به‌سرعت جایگزین روش‌های حساب قدیمی آنها (که از فن چرتکه بهره می‌جست) شد.
اروپاییها برای تمایز میان این روش حساب جدید از روش‌های حساب کهن‌تر، واژه لاتین الگوریسموس
را برای وصف آن به‌کار می‌بردند. امروزه واژه الگوریتم برای نامیدن نوعی حساب و طرح‌هایی در برنامه‌نویسی رایانه‌ای به کار می‌رود که برگرفته از همان نام لاتین است.
از فعالیت‌های نجومی خوارزمی اطلاع اندکی از منابع
معدود در دست است. به نوشته ابن ندیم،
خوارزمی پیوسته در
بیت الحکمه کار می‌کرد و زیجهایش مورد اعتماد مردم بود. براساس نقل
ابوریحان بیرونی،
یحیی بن ابی‌منصور در سال
۲۱۳ق به دستور مأمون، رصدی در شماسیه برای اندازه‌گیری میل اعظم (زاویه تمایل دایرة البروج نسبت به استوای سماوی) انجام داد که خوارزمی شاهد این رصد بود.
مسعودی از خوارزمی در زمره منجمانی یاد کرده است که طول بغداد را ۱۱۰ درجه شرقی به دست آورده بودند. به‌علاوه احتمالا وی در جمع منجمان
مأمون عباسی (که مأمور اندازه‌گیری قوس یک درجه از محیط زمین بودند) حضور داشته است.
ظاهرآ خوارزمی علاوه بر مأمون
در خدمت
واثق عباسی نیز بوده است. به نوشته
طبری خوارزمی در زمره منجمانی بود که واثق را در بستر بیماری ملاقات کردند. آنان بر اساس طالع وی به خلیفه عمری طولانی را نوید دادند که البته چنین نشد و پس از ده روز خلیفه درگذشت. در
قرن دوم با ترجمه برخی آثار نجوم هندی از
سنسکریت به
عربی مکتب نجومی سدهانته به تحریف در عربی «سِنْدِهند» خوانده شد.
خوارزمی و منجمان دیگری چون
فزاری و
حبش حاسب تحت تأثیر این مکتب آثاری را با عنوان زیج سند هند تألیف کردند.
صورت اصلی هیچ‌کدام از این آثار به‌جا نمانده، اما براساس نقل برخی منابع تاریخی و تحلیل روش‌های نجومی به‌جا مانده در ویرایش‌های تحریف شده کنونی برخی از این آثار، تأثیر پذیرفتن آنها از نجوم هندی اثبات شده است.
آثار نجومی خوارزمی عبارت است از :
مهم‌ترین اثر نجومی خوارزمی زیج وی بوده است. به نوشته
قفطی،
خوارزمی زیج خود را به‌صورت خلاصه‌ای از زیج سند هند فزاری برای مأمون تدوین کرد. به نوشته ابن ندیم،
زیج خوارزمی در دو نسخه (ویرایش) اول و دوم تنظیم شده بود که هر دوی آنها به سند هند معروف بود.
اصل عربی هیچ‌کدام از این دو ویرایش به‌جا نمانده است.
بعدها زیج خوارزمی به
اندلس راه یافت و
مجریطی (منجم سده چهارم) پس از بازنگری و انجام‌دادن تغییراتی، صورت جدیدی از آن را تدوین کرد.
به نوشته قفطی
و
ابن صاعد اندلسی،
مجریطی جدولهای اوساط (حرکت‌های میانگین) سیارات را که در زیج خوارزمی بر مبنای گاه‌شماری یزدگردی تنظیم شده بود، به گاه‌شماری قمری تبدیل کرد (
ابن عذرا این تبدیل را از
ابن صفار دانسته است؛
). بعدها دو شاگرد مجریطی یعنی ابن صفار و
ابن سمح نیز زیجهایی را تحت تأثیر مکتب سند هند (احتمالا به پیروی از زیج خوارزمی) تدوین کردند.
از اصل آثار مجریطی، ابن‌صفار و ابن‌سمح نسخه‌ای به‌جا نمانده و فقط چند فصل از زیج ابن‌صفار در دست است.
البته آدلارد باثی ویرایش مجریطی از زیج خوارزمی را به لاتینی ترجمه کرد که اکنون نسخه‌هایی از این ترجمه موجود است.
صرف‌نظر از نقل منابع تاریخی، صورت لاتینیِ به‌جامانده از زیج نیز از دخل و تصرف در آن حکایت دارد. مثلا جدول اوقات مقارنه‌های ماه و خورشید برای شهر
قرطبه، احتمالا محل اقامت مجریطی، در اندلس محاسبه شده و نه
بغداد که محل اقامت خوارزمی بوده است
ابن‌هَبَنتا/ ابن‌هِبِنتا
روش «مطارح شعاع» خوارزمی را به همراه جدول‌هایی نقل کرده است که مقادیر
عددی آنها با مقادیر جدولهای متناظر در ویرایش کنونی زیج تطابق ندارد.
به‌نظر می‌رسد که جدولهای مطارح در نسخه لاتینی حاصل کار مجریطی باشد، زیرا برای عرض جغرافیایی قرطبه محاسبه شده است.
(برای تحلیل و مقایسه جدولهای نسخه لاتینی و ابن‌هبنتا رجوع کنید به آدرس ذیل
)
قفطی در نقلی استثنایی نوشته است که در زیج خوارزمی حرکت‌های میانگین سیارات بر مبنای نظریه سند هند، نظریه تعدیل‌ها از نجوم ایرانی پیش از
اسلام و بحث میل خورشید از نظریه بطلمیوسی اخذ شده بود.
به نوشته
مسعودی خوارزمی در زیجش به پیروی از مکتب سند هند، موضع اوج خورشید را در ۱۷ درجه و ۵۵ دقیقه و ۱۴ ثانیه برج جوزا ذکر کرده بود.
ابوریحان بیرونی هم مقادیر قطر زاویه‌ای ماه و خورشید در زیج خوارزمی را مبتنی بر دو روش هندی «کند کاتک» و «کرن سار» دانسته است. پژوهش‌های جدید درباره محتوای نسخه لاتینی زیج نیز نشان می‌دهد که این اثر آمیخته‌ای از نظریات نجوم هندی، یونانی و ایران پیش از اسلام را دربردارد. برای مثال مقادیر حرکت‌های میانگین سیارات ماه و خورشید، عرض سیارات و اختلاف منظر، ریشه در نجوم هندی دارد.
به‌علاوه منشأ هندی نظریه
رؤیت هلال منسوب به خوارزمی (مفقود در اصل زیج اما مذکور در برخی زیجهای دوره اسلامی) اثبات شده است
مقادیر تعدیل سیارات از زیج شاه (که در ایران پیش از اسلام تحت تأثیر نجوم هندی تألیف شده بود) گرفته شده است.
جدولهای میل خورشید، اقامت سیارات و تعدیل زمان از نظریه بطلمیوسی اخذ شده است.
به‌نوشته
ابن یونس خوارزمی بر اساس رصد منجمان
مأمون در
بغداد مقدار میل اعظم را ۲۳ درجه و ۳۳ دقیقه در زیجش ذکر کرده بود. امروزه مشخص شده که این رصد دقت خوبی دارد، اما در نسخه لاتینی زیج خوارزمی مقدار نادقیق ۲۳ درجه و ۵۱ دقیقه به‌کار رفته
که ظاهرآ برگرفته از مجسطی بطلمیوس است.
زیج خوارزمی کهن‌ترین اثر در دوره اسلامی است که در آن جدولهای مقادیر سینوس (جَیب) تحت تأثیر نجوم هندی و جدولهای ظلّ (تابع تانژانت) آمده است. هرچند احتمال می‌رود که جدولهای ظلّ افزوده مجریطی باشد.
متن منقّح لاتینی زیج خوارزمی بر اساس ترجمه آدلارد باثی را نخستین بار سوتر در ۱۳۳۲/۱۹۱۴ منتشر کرد. این چاپ تحلیل‌های سودمند سوتر را هم دربردارد. پس از وی نویگه باوئر در ۱۳۴۱ش/ ۱۹۶۲، ترجمه انگلیسی آن را به همراه تحلیل‌های تکمیلی مبانی و روش کاربرد جدول‌ها منتشر کرد. صورت لاتینیِ به‌جا مانده از زیج خوارزمی شامل ۳۷ فصل و حدود ۱۱۶ جدول است. (برای آگاهی از چکیده مطالب زیج خوارزمی رجوع کنید به آدرس ذیل:
)
یکی از نوآوریهای مهم زیج خوارزمی، وجود مقداری
عددی برای پوشیدگی قرص خورشید در گرفتگی حلقوی است که خوارزمی برای نخستین بار آن را در جدولی مربوط به محاسبات خورشیدگرفتگی‌ها عرضه کرده است.
زیج خوارزمی تأثیر چشمگیری بر آثار نجومی بعدی در دوره اسلامی داشت چنان‌که آثار
متعددی بر مبنای زیج خوارزمی تألیف شدند یا در دیگر آثار به شرح و بسط آن پرداختند. احتمالا نخست
ابن آدمی (منجم
قرن سوم) در بغداد در زیجش، نظم العقد، از زیج خوارزمی بهره برده بود.
ابوریحان بیرونی نیز به زیج خوارزمی توجه داشته و در آثار گوناگون خود از آن نام برده و به روش‌های آن استناد کرده است.
او دو رساله مستقل با عنوان‌های فی ابطال البهتان بایراد البرهان علی اعمال الخوارزمی فی زیجه و علل زیج خوارزمی تألیف کرد.
ابوریحان بیرونی ظاهرآ رساله دوم را المسائل المفیدة و الجوابات السدیدة نامیده است). به‌علاوه ابوریحان بیرونی در پاسخ به انتقادهای
ابوالحسن اهوازی از خوارزمی
کتاب قطوری نگاشت.
از سه اثر اخیر نسخه‌ای به‌جا نمانده است.
به نوشته ابوریحان بیرونی
ابوالعباس فرغانی نیز اثری در تصحیح و تفسیر زیج خوارزمی تألیف کرده بود.همچنین ابوالفضل بن ماشاءاللّه در رساله‌ای زیج خوارزمی و زیج حبش را تلخیص و تلفیق کرده بود.
شرح دیگری بر زیج خوارزمی با عنوان کتاب علل الزیجات از
ابن مسرور موجود است که تاکنون منتشر نشده است.
(برای آگاهی از فهرست باب‌های تک‌نسخه آن رجوع کنید به آدرس ذیل؛
) مهم‌ترین شرح به‌جا مانده از زیج خوارزمی از
ابن مثنّی است. هرچند اصل عربی این شرح از بین رفته، اما ترجمه‌های لاتینی و عبری آن موجود است. ترجمه لاتینی از هوگو سانکتالنسیس و ترجمه عبری از
ابراهیم بن عزرا، اخترشناس
یهودی، است. ترجمه لاتینی را میاس وندرل در ۱۳۴۲ش/ ۱۹۶۳ و ترجمه عبری را گولدستاین در ۱۳۴۶ش/ ۱۹۶۷ منتشر کرده‌اند.
هر دو ترجمه در قرن ششم/ دوازدهم صورت گرفته‌اند. ظاهرآ در دوره‌ای پژوهشگران به نادرست شرح ابن عزرا را به دلیل تشابه نام با اثر ابوریحان بیرونی، ترجمه عبری نسخه‌ای از علل زیج خوارزمیِ ابوریحان بیرونی می‌پنداشتند.
شرح ابن مثنی نیز سرنخ‌های مهمی درباره مطالب اصل زیج دربردارد. از جمله به نوشته ابن مثنّی
در زیج خوارزمی جدولهای مقادیر سینوس (جیب) بر مبنای ۱۵۰، که در نجوم هندی به‌کار می‌رفت، تنظیم شده بود.
نکته جالب توجه آن‌که در ترجمه لاتینی زیج، این جدول‌ها بر مبنای ۶۰ (مشابه دیگر جدولهای دوره اسلامی) تنظیم شده است.
درباره این‌که نسخه لاتینی موجود و شرح‌های به‌جا مانده از زیج احتمالا چه نسبتی با دو ویرایش اصلی زیج خوارزمی داشته‌اند اظهار نظرهای متفاوتی وجود دارد.
پس از زیج خوارزمی زیجهای مهم و تأثیرگذار دیگری در قلمرو اسلامی تألیف شدند که بعضآ مانند زیج صابی، از
ابوعبداللّه بَتانی، از زیج خوارزمی برتر بوده‌اند. البته هیچ‌کدام از این آثار کاملا جایگزین زیج خوارزمی نشدند.
قفطی (ظاهرآ به نقل از ابن آدمی) از آشکار شدن برخی کاستی‌های زیج خوارزمی در دوره‌های بعدی سخن گفته، اما در نقلی جالب توجه نوشته است که اصحاب سند هند این زیج را پسندیده و آن را به‌شهرت رسانیده‌اند.
زیج خوارزمی نخستین زیج دوره اسلامی بود که به لاتینی ترجمه شد.
برخی جدولهای آن به همراه جدولهای نجومی بتانی و ابواسحاق ابراهیم زرقالی (متوفی ۴۹۳) در تدوین) جدولهای تولدان ((تألیف زرقالی بر پایه رصدهای صورت گرفته در تولدو که در دوره اسلامی به «اَرصاد طُلَیْطِلَیة» مشهور بودند) (که اصل عربی آن به‌جا نمانده و اکنون ویرایش‌های لاتینی
متعددی از آن در دست است) در اسپانیا به‌کار رفتند. جالب توجه آن‌که برخی از جدولهای منسوب به خوارزمی در) جدولهای تولدان (در ترجمه لاتینی زیج خوارزمی دیده نمی‌شوند.
همچنین در ترجمه لاتینی زیج جیانی رد مطالبی از زیج خوارزمی دیده می‌شود.
رد جدولهای نجومی خوارزمی (به شکل اصلی خود) در اثری نجومی به‌جا مانده از اواخر قرن سیزدهم/ نوزدهم در مصر یافت شده است.
این رساله خوارزمی درباره گاه‌شماری یهودی است و قواعدی را برای تعیین طول متوسط ماه و خورشید بر مبنای این گاه‌شماری به‌منظور تعیین نخستین روز سال دربردارد. همچنین مطالبی درباره دوره کبیسه‌گیری نوزده ساله قمری، تاریخ خلق آدم، مبدأ گاه‌شماری سلوکی (ذوالقرنی) و محاسبه مقارنه‌ها و مقابله‌های ماه و خورشید (اجتماع و استقبال) براساس گاه‌شماری یهودی دارد.
در این رساله فاصله زمانی میان «خلق آدم» تا پایان سال ۱۱۳۵ سلوکی (معادل ۲۰۸ قمری) داده شده است.
بر این اساس شاید خوارزمی این رساله را حوالی تاریخ مذکور تألیف کرده باشد.
(برای تحلیل مطالب این رساله به آدرس ذیل رجوع کنید؛
)
به نوشته
ابن ندیم خوارزمی دو رساله با عنوان‌های کتاب العمل بالاسطرلاب و کتاب عمل الاسطرلاب نگاشته بود. معلوم نیست کتاب العمل بالاسطرلاب، که از آن تک نسخه‌ای باقی مانده،
چه نسبتی با کتاب عمل الاسطرلاب داشته است. در هر صورت این کهن‌ترین رساله به‌جا مانده از آغاز نجوم دوره اسلامی درباره روش به‌کارگیری
اسطرلاب است.
فرانک این رساله را به آلمانی ترجمه و در) رسالاتی درباره تاریخ علوم طبیعی و طب (در ۱۹۲۲ در ارلانگن منتشر کرد. بار دیگر
فؤاد سزگین این ترجمه را در بخش دوم مجلد چهارم مجموعه) ریاضیات و نجوم اسلامی ((فرانکفورت ۱۹۹۷) به‌چاپ رساند.
(برای آگاهی از ترجمه انگلیسی رجوع کنید به آدرس ذیل؛
) به نظر می‌رسد به دلیل منسجم نبودن مطالب، نسخه باقی‌مانده این اثر نشان دهنده صورت اصلی آن نیست.
همچنین این رساله خوارزمی از جمله منابع به‌کار رفته در تدوین کهن‌ترین رساله لاتینی درباره اسطرلاب احتمالا ترجمه لوپیتوس بارسلونایی در قرن ششم/ دوازدهم بوده است.
علاوه بر سه اثر نجومی مذکور، روزنفلد و احسان اوغلو
فهرستی از حدود بیست اثر نجومی دیگر را به خوارزمی نسبت داده‌اند.
تعدادی از این آثار در نسخه خطی ش ۴۸۳۰ مجموعه ایاصوفیه واقع در کتابخانه سلیمانیه استانبول و برخی دیگر در نسخه خطی ش ۵۶ مجموعه لندبرگ کتابخانه دولتی برلین گرد آمده است. مؤلف بیشتر این آثار مجهول است.
البته در میان آنها رساله‌ای در مجموعه ایاصوفیه با عنوان ظرائف من عمل محمد بن موسی الخوارزمی: معرفة السمت بالاسطرلاب (برای آگاهی از متن عربی رجوع کنید به آدرس ذیل؛
برای ترجمه انگلیسی به آدرس ذیل رجوع کنید؛
) و کتاب العمل بالاسطرلاب در مجموعه لندبرگ صریحآ به خوارزمی منسوب‌اند. باتوجه به این‌که ابن ندیم
اثری با عنوان کتاب الرخّامه، درباره ساعت‌های آفتابی، را از خوارزمی دانسته، سزگین
رساله دیگری از مجموعه ایاصوفیه با عنوان عمل الساعات فی بسیط الرُّخامة را از آثار خوارزمی ذکر کرده است. در هر صورت انتساب این رساله به خوارزمی مورد بحث است.
هرچند به نظر می‌رسد که این رساله‌ها در قرن سوم نگاشته شده‌اند،
اما انتساب دیگر رساله‌ها به خوارزمی محل تردید است و پژوهشگران تاریخ علم در این‌باره اختلاف‌نظر دارند. چنان‌که احتمال می‌رود رساله‌ای از این مجموعه حاوی جدول‌هایی برای ترسیم ساعت‌های آفتابی افقی از حبش حاسب باشد.
به عقیده کینگ
مسئله انتساب این رساله‌ها به خوارزمی فقط از طریق کشف نسخه‌های پژوهش‌نشده امکان‌پذیر است. هوخندایک
اثبات کرده است که جدول‌هایی با عنوان «جیب الساعات» (موجود در مجموعه لندبرگ) که در توابعی کمکی برای محاسبه ارتفاع خورشید به منظور تعیین اوقات نمازند، نیز از خوارزمی است. در دو مجموعه پیش گفته دو رساله اهمیت ویژه دارند. یکی رساله‌ای در مجموعه لندبرگ با عنوان عمل رُبع یُستخرج منه الجَیب و المیل و ... است.
(برای آگاهی از متن عربی رجوع کنید به آدرس ذیل؛
برای ترجمه انگلیسی رجوع کنید به آدرس ذیل؛
) چون در این رساله مبنای ۱۵۰ برای محاسبات مثلثاتی منظور شده
و
مراکشی نیز از «جدول جَیب» خوارزمی نام برده است، پژوهشگران احتمال داده‌اند که این اثر از خوارزمی باشد.
رساله دیگر با عنوان صنعة الربع للسّاعات در مجموعه ایاصوفیه کتابخانه سلیمانیه است.
(برای آگاهی از متن عربی به آدرس ذیل رجوع کنید؛
) برای ترجمه انگلیسی رجوع کنید به آدرس ذیل؛
) که در آن نیز مبنای ۱۵۰ و اصطلاح «کَرْدَجَه» (به معنی سینوس مضارب ْ۱۵ برگرفته از نجوم هندی) به‌کار رفته است.
اگر استدلال‌های مطرح شده مبنی بر انتساب این رسائل به خوارزمی پذیرفته شوند، وی مؤلف نخستین رساله‌ها درباره دوگونه ابزار نجومی یعنی رُبع مُجیَّب و رُبع ساعتی بوده است.
(برای آگاهی از مجموعه پژوهش‌های انجام شده درباره این رسائل رجوع کنید به آدرس ذیل؛
)
خوارزمی اثری نیز با عنوان کتاب التاریخ داشته که احتمالا در زمره آثار وقایع‌نگاری بوده است، اما نسخه‌ای از آن به‌جا نمانده است.
طبری رویدادی را از این اثر مربوط به سال
۲۱۰ق نقل کرده است، بنابراین کتاب التاریخ باید پس از تاریخ مذکور تألیف شده باشد. باتوجه به نقل قول‌های تاریخی از این اثر
به نظر می‌رسد که خوارزمی هم مانند منجم مشهور هم عصرش،
ابومعشرِ بلخی، با رویکرد احکام نجومی به رویدادهای تاریخی توجه داشته است.
مهم‌ترین آثار تاریخی که از این کتاب خوارزمی یاد کرده یا بخش‌هایی از آن را آورده‌اند عبارت‌اند از:
تاریخ الرسل و الملوک،
تاریخ یعقوبی،
تاریخ سیستان،
مروج الذهب مسعودی و کتاب تاریخ سِنی ملوکِ الارض از
حمزه اصفهانی.
برای آگاهی از دستاوردهای خوارزمی در جغرافیا رجوع کنید به
صورة الارض.
(۱) ابن صاعد اندلسی، التعریف بطبقات الامم: تاریخ جهانی علوم و دانشمندان تا قرن پنجم هجری، چاپ غلامرضا جمشیدنژاد اول، تهران ۱۳۷۶ش.
(۲) ابن عبری، يوحنا بن هارون، تاریخ مختصر الدول.
(۳) ابن ندیم، محمد بن اسحاق، الفهرست.
(۴) ابن هبنتا، المغنی فی احکام النجوم، چاپ عکسی از نسخه خطی کتابخانه ظاهریه دمشق، ش ۹۳۵۴، ج ۲، چاپ عکسی از نسخه خطی کتابخانه دولتی باواریا مونیخ، ش ۸۵۲ arab، چاپ فؤاد سزگین، فرانکفورت ۱۴۰۷/۱۹۸۷.
(۵) ابن یونس، علی بن عبدالرحمن، الزیج الکبیر الحاکمی، نسخه خطی کتابخانه لیدن، ش ۱۴۳Or، نسخه عکسی کتابخانه بنیاد دایرة‌المعارف اسلامی.
(۶) ابوریحان بیرونی، محمد بن احمد، رسائل البیرونی، حیدرآباد، دکن ۱۳۶۷/۱۹۴۸.
(۷) ابوریحان بیرونی، محمد بن احمد، فهرست کتابهای رازی و نامهای کتابهای بیرونی، تصحیح و ترجمه و تعلیق از مهدی محقق، تهران ۱۳۶۶ش.
(۸) ابوریحان بیرونی، محمد بن احمد، کتاب البیرونی فی تحقیق ماللهند، حیدرآباد، دکن ۱۳۷۷/۱۹۵۸.
(۹) ابوریحان بیرونی، محمد بن احمد، کتاب تحدید نهایات الاماکن لتصحیح مسافات المساکن، چاپ پ بولجاکوف، در الجغرافیا الاسلامیة، ج ۲۵، چاپ فؤاد سزگین، فرانکفورت: معهد تاریخ العلوم العربیة و الاسلامیة، ۱۴۱۳/۱۹۹۲.
(۱۰) ابوریحان بیرونی، محمد بن احمد، کتاب القانون المسعودی، حیدرآباد، دکن ۱۳۷۳ـ۱۳۷۵/ ۱۹۵۴ـ۱۹۵۶.
(۱۱) تاریخ سیستان، چاپ محمدتقی بهار، تهران: زوار، (۱۳۱۴ش).
(۱۲) اصفهانی، حمزة بن حسن، کتاب تاریخ سنی الملوک الارض و الانبیاء (علیهم‌الصلوةوالسلام)، برلین ۱۳۴۰.
(۱۳) خوارزمی، محمد بن موسی، مقالة فی استخراج تاریخ الیهود و اعیادهم، در الرسائل المتفرقة فی الهیئة للمتقدمین و معاصری البیرونی، حیدرآباد، دکن: دائرة‌المعارف العثمانیة، ۱۳۶۷/۱۹۴۸.
(۱۴) طبری، محمد بن جریر، تاریخ (لیدن).
(۱۵) قفطی، علی بن یوسف، تاریخ الحکماء، و هو مختصر الزوزنی المسمی بالمنتخبات الملتقطات من کتاب اخبارالعلماء باخبارالحکماء، چاپ یولیوس لیپرت، لایپزیگ ۱۹۰۳.
(۱۶) کندی، ادوارد استوارت، پژوهشی در زیجهای دوره اسلامی، ترجمه محمد باقری، تهران ۱۳۷۴ش.
(۱۷) کینگ، دیوید آنتونی، فهرس المخطوطات العلمیة المحفوظة بدارالکتب المصریة، قاهره ۱۹۸۱ـ۱۹۸۶.
(۱۸) مراکشی، حسن بن علی، جامع المبادی و الغایات فی علم المیقات، چاپ عکسی از نسخه خطی کتابخانه طوپقاپی‌سرای استانبول، مجموعه احمد ثالث، ش ۳۳۴۳، فرانکفورت ۱۴۰۵/۱۹۸۴.
(۱۹) مسعودی، علی بن حسین، التنبیه.
(۲۰) مسعودی، علی بن حسین، مروج الذهب (بیروت).
(۲۱) نالینو، کارلو آلفونسو، تاریخ نجوم اسلامی، ترجمه احمد آرام، تهران (۱۳۴۹ش).
(۲۲) یعقوبی، احمد بن اسحاق، تاریخ.
(۲۳) ابوکامل، شجاع بن اسلم، کتاب الجبر و المقابلة، چاپ عکسی از نسخه خطی کتابخانه بایزید استانبول، مجموعه قره‌مصطفی‌پاشا، ش ۳۷۹، فرانکفورت ۱۴۰۶/ ۱۹۸۶.
(۲۴) بغدادی، عبدالقاهر بن طاهر، التکملة فی‌الحساب، چاپ احمد سلیم سعیدان، کویت ۱۴۰۶/۱۹۸۵.
(۲۵) خوارزمی، محمد بن موسی، کتاب الجبر و المقابلة، چاپ علی مصطفی مشرفه و محمد مرسی احمد، (قاهره) ۱۹۶۸.
(۲۶) قریشی، علی بن خضر، التذکرة باصول الحساب و الفرائض.
(۲۷) مقدسی، محمد بن احمد، احسن التقاسيم في معرفه الاقاليم.
(۲۸) ed and tr URebstock, in Islamic mathematics and astronomy, vol ۱۰۷, collected and reprinted by Fuat Sezgin, Frankfurt am Main: Institute for the History of Arabic-Islamic Science at the Johann Wolfgang Goethe University, ۲۰۰۱.
(۲۹) Dictionary of scientific biography, ed Charles Coulston "Al- sv ۱۹۸۱, Sons, Scribner's Charles York: New Gillispie, Khwa (rizm ((, Abu (Ja (far Muh (ammad ibn Mu (sa (" (by G J Toomer).
(۳۰) Ahmed Djebbar, La circulation des math (matiques entre l'Orient et l'Occident musulmans: interrogations anciennes et l ments nouveaux", in From mathematical of transmission years ۲۰۰۰ Paris: to China Stuttgart: Franz al, et Dold-Samplonius Yvonne ed ideas, Steiner Verlag, ۲۰۰۲.
(۳۱) Ahmed Djebbar, Enseignement et recherche math (matiques dans le Maghreb des XIII (-XIV (Si (cles", Publications math (matiques d'Orsay, no ۸۱-۰۲ (۱۹۸۰).
(۳۲) Muhammad b Musa Khwarazm, Le calcul indien (algorismus) , ed A Allard, Paris ۱۹۹۲.
(۳۳) Muhammad b Musa Khwarazm, Die lteste lateinische Schrift (ber das indische Rechnen nach al-hwarizm (, ed Menso Folkerts, Munich ۱۹۹۷.
(۳۴) Tony Lvy, "L'Alg (bre arabe dans les textes hbraques (I) : un ouvrage indit d'Isaac ben Salomon al-Ahdab (XIVe si (cle) ", Arabic sciences and philosophy, vol۱۳ (۲۰۰۳).
(۳۵) Franois Nau, "Notes d'astronomie syrienne", Journal Asiatique, vol۱۶ (۱۹۱۰.
(۳۶) Boris Abramovich Rozenfeld and Ekmeleddin I (hsanog (lu, Mathematicians, astronomers, and other scholars of Islamic civilization and their works (۷th-۱۹thc) , I (stanbul ۲۰۰۳۳).
(۳۷) The Biographical encyclopedia of astronomers, ed Thomas Hockey, New York:Springer, ۲۰۰۷, svv.
(۳۸) "Ibn al-Samh: Abu al-Qasim Asbagh ibn Muhammad ibn " (by M (nica Rius) , "Khwarizm: al-Samh al-Gharnat " (by Sonja Brentjes).
(۳۹) Muhammad ibn Musa al-Khwarizm Francis J.
(۴۰) Carmody, Arabic astronomical and astrological sciences in Latin translation: a critical bibliography, Berkeley, Calif ۱۹۵۶.
(۴۱) Margarita Castells and Julio Sams "Seven chapters of Ibn Al-S (affa (r's lost z ((j", Archives internationales d'histoire des sciences, ۴۵ (۱۹۹۵) , repr.
(۴۲) in Julio Sams, Astronomy and astrology in al-Andalus and the Maghrib, Aldershot, Engl ۲۰۰۷.
(۴۳) rizm Franois Charette and Petra G.
(۴۴) Schmidl, "al-Khwa and practical astronomy in ninth-century Baghdad: the earliest extant corpus of texts in Arabic on the astrolabe and other portable instruments", Sciamvs, vol۵ (Dec ۲۰۰۴).
(۴۵) Michel Chasles, "Recherches sur l'astronomie indienne", Comptes rendus hebdomadaires des sc (ances de l'Acadmie des sciences, ۲۳ (۱۸۴۶) , repr.
(۴۶) in Islamic mathematics and astronomy, vol ۳/I, collected and reprinted by Fuat Sezgin, Frankfurt am Main: Institute for the History of Arabic-Islamic Science at the Johann Wolfgang Goethe University, ۱۹۹۷.
(۴۷) Dictionary of scientific Biography, ed Charles Coulston Gillispie, New York: Charles Scribner's Sons, ۱۹۸۱, sv.
(۴۸) "Al- Khwarizm, Abu Ja'far Muhammad ibn Musa (" (by G J Toomer.
(۴۹) Hamid - Reza Giahi Yazdi, "Al - Khwarizm and annular solar eclips", Archive for history of exact sciences, vol۶۵, no۵ (Sept ۲۰۱۱).
(۵۰) Bernard Raphael Goldstein and David Pingree, "The astronomical tables of al-Khwarizm in a nineteenth century Egyptian text", JAOS, vol ۹۸, no۱ (Jan - March ۱۹۷۸).
(۵۱) Heinrich Hermelink, "Tabulae Jahen", Archive for history of exact sciences, vol۲ (۱۹۶۴).
(۵۲) rizms tables of the 'sine of Jan P Hogendijk, "Al-Khwa (the hours' and the underlying sine table", Historia scientiarum, vol۴۲ (۱۹۹۱).
(۵۳) Ibn Ezra, El libro de los fundamentos de las Tablas astron (micas, ed Crtica, Madrid ۱۹۴۷.
(۵۴) Ibn Muthanna, Ibn al-Muthanna's commentary on the astronomical tables of al-Khwarizm, ed and tr Bernard R Goldstein, New Haven ۱۹۶۷.
(۵۵) rizm on the Jewish Edward Stewart Kennedy, "Al-Khwa calendar", Scripta mathematica, vol۲۷, no۱ (۱۹۶۴) , repr.
(۵۶) in Edward Stewart Kennedy, Studies in the Islamic exact sciences, Beirut ۱۹۸۳.
(۵۷) Edward Stewart Kennedy and Mardiros Janjanian, "The crescent visibility table in al-Khwa (rizm (('s z ((j", Centaurus, vol۱۱, no۲ (۱۹۶۵) , repr in ibid.
(۵۸) Edward Stewart Kennedy and Haiganoush Krikorian Preisler, "The astrological doctrine of projecting the rays", Al-Abhath, vol۲۵ (۱۹۷۲) , repr in ibid.
(۵۹) Muhammad b Musa Khwarazmi, The astronomical tables of al-Khwarizm, translation with commentaries of the Latin version edited by H Suter, supplemented by Corpus Christi College MS ۲۸۳, by O Neugebauer, Copenhagen ۱۹۶۲.
(۶۰) idem, Die astronomischen tafeln des Muhammed ibn Musa al-Khwarizm, (Latin translation by Athelhard von Bath) , ed H Suter, Copenhagen ۱۹۱۴, repr.
(۶۱) in Islamic mathemathics and astronomy, vol۷, ibid.
(۶۲) in trends new and Al-Khwarizm AKing, David mathematical astronomy in the ninth century, New York ۱۹۸۳.
(۶۳) idem, "Some early Islamic tables for determining lunar crescent visibility", in From deferent to equant: a volume of studies in the history of science in the ancient and medieval Near East in honor of E S Kennedy, ed David A.
(۶۴) King and George Saliba, New York: The New York Academy of Sciences, ۱۹۸۷.
(۶۵) King and George Saliba, In synchrony with the heavens: studies in astronomical timekeeping and instrumentation in medieval Islamic civilization, Leiden rizm as a source ۲۰۰۴-۲۰۰۵.
(۶۶) Paul Kunitzch, "Al-Khwa for the sententie astrolabii", in From deferent to equant, ibid.
(۶۷) David Pingree, "Indian astronomy in medieval Spain", in From Baghdad to Barcelona: studies in the Islamic exact sciences in honour of Prof.
(۶۸) Juan Vernet, ed Josep Casulleras and Julio Sams (, vol۱, Barcelona: Institute "Millرجوع کنید به s Vallicrosa" de Historia de la Ciencia and Ekmeleddin Rozenfeld Abramovich Boris Arabe، ۱۹۹۶.
(۶۹) Ihsanoglu, Mathematicians, astronomers, and other scholars of Islamic civilization and their works (۷th-۱۹th c, Istanbul ۲۰۰۳.
(۷۰) Fuat Sezgin, Geschichte des arabischen Schrifttums, Leiden ۱۹۶۷.
(۷۱) G J Toomer, "Survey of the Toledan tables", Osiris, ۱۵ (۱۹۶۸).
(۷۲) Benno Van Dalen, "Al-Khwarizm 's astronomical tables revisited: analysis of the equant of time", in From Baghdad to PYouschkevitch، Les math matiques Adolf ibid.
(۷۳) Barcelona, arabes: VIIIe-XVe si (cles, tr M Cazenave and K Jaouiche, Paris ۱۹۷۶.
مرکز دائرة المعارف بزرگ اسلامی، دائرة المعارف بزرگ اسلامی، برگرفته از مقاله « خوارزمی محمدبن موسی ».
