جذر اصم
ذخیره مقاله با فرمت پی دی اف
جَذْرِ أَصَم، یکی از
شبهات مهم
منطقی می‌باشد.
این
شبهه را ابتدا منطقدانان مِگاری (
مگارا از شهرهای
یونان ) و رواقی مطرح کردند.
بحث و تأمل در این شبهه، در بیش از ۲۳ قرن، موجب طرح تقریرهای مختلف، صورت‌های تقویت شده و عرضه راه حل‌های گوناگون برای آن شد و لوازم و آثار فراوانی را در
منطق ،
معرفت شناسی و
علم کلام پدید آورد.
دانشمندان
مسلمان در قرن هفتم آن را شبهه جذر أصم خواندند، زیرا صعوبت و سختی حل آن، به جذر عدد أصم (گنگ) شباهت دارد.
شبهه جذر أصم در باره جمله ای است که صدق آن و صدقِ نقیضِ آن، مجموعاً، به
تناقض می‌انجامد.
تقریر نخست شبهه جذر أصم به صورت گزاره واحدی مطرح شد که متضمن حکم به
کذب خود است و به همین دلیل «متناقض با خود» است که نخستین صورت آن، به بیان
اپیمنیدس ، از اهالی
کرت ، در
یونان باستان چنین است : «همه اهالی کرت دروغگویند.»
اوبولیدس ملطی ، جانشین
اقلیدس مگاری، این معما را به صور گوناگون بیان کرده است: ۱) اگر من
دروغ می‌گویم، آیا من راست می‌گویم ؟ ۲) این جمله صادق نیست، آیا این جمله صادق است ؟ ۳) من می‌گویم یا می‌نویسم : «جمله ای که در این سطر آمده (همین جمله) دروغ است»
در همه این جملات با گزاره‌هایی مواجهیم که اگر صادق باشد نیست و اگر صادق نباشد هست.
اندیشمندان مسلمان نیز با این معما آشنا بودند و ارائه تقریرهای گوناگون و راه حل‌ها، نقد آن‌ها از طریق عرضه صورت‌های تقویت شده و به کار گرفتن معما در نقد نظام‌های معرفتی، حاصل تأملات آنان در این زمینه است. آنان دو نظر متمایز در این باره داشته اند.
ظاهراً
فارابی نخستین دانشمند اسلامی بوده که جذر أصم را مطرح کرده اما آن را شبهه تلقی نکرده و در صدد حل آن بر نیامده، بلکه آن را
کاذب دانسته و اشاره نکرده است که از
کذب آن صدقش لازم می‌آید، و معتقد بوده هر کلامی که ساختار شبهه جذر أصم را داشته باشد
کاذب است.
متفکرانی که جذر أصم را شبهه تلقی کرده اند، چه قابل رفع باشد چه نباشد، در این باره دو دیدگاه متمایز داشته اند:
معمای دروغگو (شبهه جذر اصم)، تناقض واقعی و غیرقابل حل است. متکلمان شبهه جذر أصم را معمای لاینحل تلقی کرده و از این رو، برای آن یا راه حلی مطرح نکرده یا راه حل‌های داده شده را تضعیف کرده اند. موضع متکلمان در مواجهه با این شبهه، موضعی ابزار انگارانه است؛ یعنی، معمای جذر أصم را حقیقتاً متناقض با خود یافته و به عنوان ابزاری برای احاله نظریات رقیب به محال، از آن بهره برده‌اند و آن را در سه حوزه مختلف
معرفت شناسی ،
خداشناسی و
فلسفه اخلاق مطرح نموده و سه نظریه را با آن نقد کرده اند.
قاضی عبدالجبار معتزلی (متوفی ۴۱۲ یا ۴۱۵) در المغنی
و
ابومنصور عبدالقاهر بغدادی (متوفی ۴۲۹) در اصول الدین،
در ابطال نظریه
ثنویت ، از معمای جذر أصم استفاده کرده اند. متکلمان
اشعری ، مانند
سعدالدین تفتازانی (متوفی ۷۹۲)
و
محب اللّه بن عبدالشکور بهاری (متوفی ۱۱۱۹)،
معمای جذر أصم را در نقد نظریه
حسن و قبح عقلی به کار گرفته اند. همچنین بنا بر نظر
جاحظ که قائل است به این‌که قضیه بر سه قسم است (صادق،
کاذب، و نه
کاذب نه صادق)، می‌توان نظریه صدق ارسطویی را نقد کرد. چنانکه قبل از جاحظ، برخی از رواقیان نیز معمای دروغگو را به همین روش حل کرده اند.
معمای دروغگو
ایهام تناقض دارد و متضمن تناقض واقعی نیست، لذا شبهه ای رفع شدنی است. نخستین کسی که این دیدگاه را داشته
اثیرالدین ابهری (متوفی ۶۶۴) بوده است.
در این دیدگاه، برخی از منطقدانان در باره سبب ایهام تناقض و علت بروز مغالطه سخن گفته اند. مثلاً،
خواجه نصیرالدین طوسی (متوفی ۶۷۲)
آن را به مغالطه سوء اعتبار حمل و
علامه حلّی (متوفی ۷۳۲)
آن را به مغالطه تلقی مابالعرض به جای مابالذات ارجاع داده اند.
کاتبی قزوینی (متوفی ۶۷۵)،
ابن کَمُّونه (متوفی ۶۸۳) و
قطب الدین شیرازی (متوفی ۷۱۱) از دیگر منطق‌دانانی بودند که با این دیدگاه از شبهه جذر أصم سخن گفته اند.
در حوزه
شیراز ،
سیدصدرالدین محمد دشتکی (متوفی ۹۰۳) و
جلال الدین دوانی (متوفی ۹۰۸) این شبهه را مطرح و در تحلیل آن، نظر یکدیگر را
نقد کرده
و آرای سعدالدین
تفتازانی ،
دبیران کاتبی قزوینی ،
شمس الدین سمرقندی ،
خواجه نصیرالدین طوسی ،
میرسید شریف جرجانی (متوفی ۸۱۶) و ابن کمونه را در خصوص شبهه جذر أصم، بررسی نموده اند.
اختلاف دیدگاه دشتکی و دوانی را شاگردانشان ارزیابی کردند، چنانکه
غیاث الدین دشتکی (متوفی ۹۴۹)، فرزند صدرالدین دشتکی، مفصّل ترین رساله را در این خصوص نوشت و از موضع پدرش دفاع کرد.
شمس الدین محمد بن احمد خَفری (متوفی ۹۵۷) نیز درخصوص حل معمای جذر أصم، دو رساله نوشت: ضالّة الفضلاء یا عبرة الفضلاء و حیرة الفضلاء.
کمال الدین بخاری (متوفی ۹۴۷) نیز در رساله مغالطات غریبه، شبهه جذر أصم را مطرح کرده و به ارائه راه حل پیشینیان پرداخته است.
از دیگر رسائلی که بنا بر دیدگاه دوم نگاشته شده، اینهاست: قسطاس فردیه از
میرداماد (۱۰۴۱)؛ کدّالقلم فی حل شبهه جذرالأصم، از شیخ
محمدعلی بن ابیطالب گیلانی (متوفی ۱۱۸۱) معروف به
زاهدی اصفهانی ؛ رساله فی حل شبهة جذر الأصم، از
محمد سراب تنکابنی (متوفی ۱۱۲۴)؛ و رساله فی شبهة جذر الأصم، از آقا حسین
محقق خوانساری (متوفی ۱۰۹۸).
میرفضل اللّه استرآبادی (متوفی ۹۹۳) در آداب مناظره
و
عبداللّه جیلانی (متوفی در اواخر عهد صفوی) در التشکیکات
از دیگر کسانی‌اند که در باب شبهه جذر أصم سخن گفته اند. برخی از اصولیان نیز به شبهه جذر أصم توجه داشته اند.
دانشمندان مسلمان، نمونه‌های گوناگونی را از گزاره‌هایی که برای بیان این شبهه است، مطرح کرده‌اند که فهرست اجمالی آن به ترتیب تاریخی چنین است :
۱) «کل قولٍ فهو
کاذب».
۲) شخصی که هیچ سخن راستی نگفته باشد، بگوید «کل کلامی
کاذب» و آنگاه بمیرد.
۳) «هر سخنی که بگویم، الا´ن
دروغ است».
۴) شخص معیّنی وارد خانه معیّنی شود و پس از بیانِ «هر سخنِ من در این خانه دروغ است»، بدون گفتن سخن دیگری، از آن خانه خارج شود.
۵) «هر سخنی که الا´ن بگویم، دروغ است». در این گزاره، بر خلاف گزاره سوم، موضوعْ مقید به زمانِ معیّنِ «الا´ن» است، در حالی که در قضیه سوم، زمانِ معیّنِ «الا´ن» قید محمول است. گزاره پنجم رایج ترین بیان از معمای جذر أصم است که نخستین بار کاتبی قزوینی آن را مطرح کرد
و برخی از منطقدانان
آن را ذکر کرده‌اند و عده ای
آن را با این شرط آورده‌اند که در آن لحظه گوینده غیر از آن سخنی نگفته باشد. استرآبادی (متوفی ۹۹۳)
آن را مشروط به این‌که گوینده غیر از آن سخنی نگفته باشد، یا مراد از «هر سخن» همین سخن باشد، ذکر کرده است. ۶) «امروز، آنچه فردا خواهم گفت راست است»، «فردا آنچه دیروز گفتم دروغ است»، با فرض این‌که گوینده این جمله در این دو روز، سخن دیگری نگفته باشد.
۷) «برخی از آن سخنان من دروغ است»، به شرط آن‌که گوینده آن دروغگو نباشد.
۸) «من دروغگو هستم»، به شرط آن‌که گوینده آن دروغگو نباشد.
۹) «هر آنچه زید به تو خبر می‌دهد تصدیق کن» و زید هزاران خبر می‌دهد و همه این خبرها دروغ است.
راه حل‌ها و پاسخ‌هایی که اندیشمندان
مسلمان برای جذر أصم داده اند، بسیار متنوع است. فهرست اجمالی آن‌ها به ترتیب تاریخی چنین است :
همان طور که مطرح شد،
فارابی جذر أصم را شبهه ندانسته است تا راه حلی برای آن ارائه کند اما مواجهه او با عبارت «کل قول فهو
کاذب» این چنین است که می‌گوید جمله مذکور
کاذب است و هر نظریه ای که ساختار آن را داشته باشد
کاذب خواهد بود، به این بیان که اگر کلامی که در آن محمول برای برخی افراد موضوع صادق و برای برخی دیگر
کاذب باشد و به شکل کلی استفاده شود،
کاذب خواهد بود. پس بنا بر آن‌که همه چیزها متغیر نیستند و همه سخنان
کاذب نیستند، عبارت «کل قول فهو
کاذب»
کاذب است.
معما
کاذب است اما
کذب آن، مستلزم صدق نیست، زیرا صدق آن عبارت است از اجتماع صدق و
کذب؛ بنابراین، کذبش مستلزم
عدم اجتماع صدق و
کذب است و
عدم اجتماع صدق و
کذب، مستلزم صدق نیست.
اگرچه اثیرالدین ابهری، همانند فارابی، به
کذب «کل کلامی
کاذب» حکم کرده، اما بر خلاف او آن را
شبهه تلقی نموده و در صدد یافتن راه حلی برای آن بوده است.
در جذر أصم خطایی رخ داده و آن، حکم به عروض صدق و
کذب بر امری است که صدق و
کذب پذیر نیست؛ بنابراین، می‌توان گفت سبب مغالطه، سوءاعتبار حمل است و به دلیل
عدم تغایر میان خبر و مخبرٌ عنه در جذر أصم، صدق و
کذب مطرح نیست.
معما متضمن دو خبر است که یکی متعلق به دیگری است، پس اجتماع صدق و
کذب در امر واحد لازم نمی‌آید.
سرّ ایهام تناقض در جمله «کل کلامی
کاذب»،
عدم تمایز مقامِ حال حکم و حکم (محمول) است؛ بنابراین، سخن از صدق و
کذب آن مستلزم هیچ گونه تناقضی نیست، زیرا
کذب در قضیه مذکور به عنوان حکم و محمول است و با صدق و
کذبی که حال حکم است تنافری ندارد و پرسش از صدق و
کذب این معما در واقع خلط بین دو کاربرد صدق و
کذب (صدق و
کذب به معنای وصف حکم و صدق و
کذب به معنای محمول) است. بنابراین، به دلیل اختلاف مفاد قضیه «کل کلامی
کاذب» با «کل کلامی
کاذب، صادق» نمی توان آن دو را متناقض دانست.
مُفاد این قضیه شامل خود آن نیست پس تناقض لازم نمی‌آید. میرسید شریف جرجانی دلیل آن را
عدم اشتمال اشاره برخود اشاره دانسته است.
پرسش از صدق و
کذب جمله «کل کلامی
کاذب»، سؤال از صدق و
کذب درجه دوم است و این خود نیاز به خبر درجه دوم دارد در حالی که در جذر أصم خبر درجه دوم مطرح نیست و پرسش از صدق و
کذب درجه دوم در خصوص خبر درجه اول اساساً بی معناست؛ بنابراین، هرگاه صدق و
کذب دوبار مطرح شود باید دو خبر مطرح گردد، اما هرگاه خبری ارائه نشود و گفته شود خبر من صادق است، چنین گزاره ای به صدق و
کذب متصف نمی‌شود.
جذر أصم به لحاظ محتوا و مضمون و خصوصیت موضوع و محمول، یعنی از حیث ساختار معنایی، خبر نیست زیرا در آن، مدلول خبر، صدقِ نسبت را اقتضا نمی‌کند اما از حیث ساختار صوری (نحوی) و بدون توجه به خصوصیت موضوع و محمول، صدق و
کذب پذیر است.
شبهه «کل کلامی
کاذب» دارای دو اعتبار است: الف) اعتبار
ابهام : در این اعتبار، خصوصیت محمول لحاظ نمی‌شود و گزاره «کل کلامی
کاذب»، که خود نوعی کلام است، فردی از افراد «کل کلامی» است و حکم
کذب بر خود گزاره، سرایت می‌کند. ب) اعتبار
تعین : در این اعتبار، خصوصیت محمول لحاظ می‌شود و این محمولِ خاص، بر موضوع خاص «کل کلامی» حمل می‌شود. در این اعتبار، این فرد خاص از «کل کلامی» مطرح است نه فردی از افراد آن به‌طور مبهم؛ از این رو، با تفکیک دو اعتبار تعین و ابهام در شبهه جذر أصم، نه از صدقش،
کذب لازم می‌آید و نه کذبش مستلزم صدقش است.
صدق و
کذب پذیری خبر مربوط به خبر متعارف و شایع نزد عامه مردم است، اما جذر أصم خبر متعارف نیست؛ بنابراین، نه صادق است نه
کاذب، چون احتمال صدق و
کذب خبر به حسب نوع و با قطع نظر از خصوصیات فردی آن است. در عین حال با توجه به خصوصیات فردی آن ممکن است نه صادق باشد نه
کاذب.
به شبهه جذر أصم ــ که امروزه «معمای دروغگو» نیز خوانده می‌شود ــ منطقدانان و ریاضیدانان غربی نیز توجه کرده اند. در
منطق جدید، آن را بر اساس طبقه بندی رمزی، پارادوکس معنایی (= دلالت شناسی) و متمایز از پارادوکسهای منطقی (شامل مفاهیمی مثل مجموعه و عضویت) می‌دانند.
راسل ،
تارسکی ،
رمزی ،
ژوردن ،
سینزبری و بعضی دیگر از کسانی هستند که به معمای جذر أصم توجه داشته اند.
یان لوکاشویچ ، منطقدان لهستانی، از تقریر نخست شبهه جذر أصم که به صورت گزاره واحد متضمن حکم به
کذب خود است، تقریری منطقی و مدون عرضه کرده است.
دانشمندان غربی، علاوه بر تقریر نخست، که ذکر آن گذشت، تقریر دیگری از شبهه جذر أصم ارائه کرده‌اند که بنا بر آن، معمای جذر أصم به صورت دو یا چند گزاره ناظر به یکدیگر است که به تناقض می‌انجامد.
در منطق جدید،
ژوردن ، بیان معمای
اوبولیدس را به صورت پارادوکس کارت پستال در آورد، به این بیان که «جمله پشت کارت راست است» و زمانی که به پشت کارت رجوع می‌کنیم این جمله را می‌یابیم : «جمله پشت این کارت دروغ است».
تارسکی
این صورت بندی از معما را بدین صورت بیان کرده است: فرض کنید کتابی صد صفحه دارد و هر صفحه اش یک جمله دارد. در صفحه یک آن می‌خوانیم : «جمله ای که در صفحه دو این کتاب نوشته شده راست است» و در صفحه دو می‌خوانیم : «جمله ای که در صفحه سه این کتاب نوشته شده راست است» و همین طور تا صفحه ۹۹، و در صفحه صد، این جمله را می‌یابیم : «جمله ای که در صفحه یک این کتاب نوشته شده دروغ است.»
تارسکی با تفکیک زبان موضوعی (کاربرد اول زبان که از جهان خارج خبر می‌دهد) از فرا زبان (کاربرد دوم زبان که از زبان موضوعی خبر می‌دهد) به حل شبهه جذر أصم پرداخته، به این بیان که عبارت «صادق است» یا «
کاذب است» متعلق به فرا زبان است اما در شبهه جذر أصم عبارت «دروغ است» را بدون فرا رفتن از زبان موضوعی برای فرا زبان به کار برده ایم. بنابراین، با این کار مرتبه زبان موضوعی و فرا زبان را به هم آمیخته و دچار
تناقض شده ایم. بنابراین، جمله «آنچه می‌گویم، دروغ است» در جای درست خود به کار نرفته و از حیث ساختار منطقی نادرست است.
به عبارت دیگر، جمله مذکور به عنوان قضیه ای منطقی نه صادق است نه
کاذب، زیرا دروغ گفتن و راست گفتن همیشه حالت یک قضیه یا حالت فردی است که یک قضیه را بیان می‌کند؛ بنابراین، بدون اشاره به یک قضیه و حکم، صدق و
کذب بی معناست.
با توجه به راه حل صدرالدین دشتکی، به نظر می‌رسد که راه حل تارسکی را می‌توان به راه حل دشتکی در تفکیک صدق و
کذب خبر درجه یک و صدق و
کذب خبر درجه دوم ارجاع داد. راه حل تارسکی همچنین قابل تطبیق با بحث الفاظ در وضع اول و وضع ثانی است که در حواشی
حسن بن سوار بر کتاب عبارت (باری ارمینیاس)
ارسطو دیده می‌شود و فارابی
نیز بدان توجه داشته است ولی آنان از این بحث به عنوان راه حلی برای شبهه دروغگو استفاده نکرده اند. با تفکیک وضع اول و ثانی می‌توان گفت در شبهه دروغگو، صدق و
کذب ــ که متعلق به وضع ثانی‌اند و دلالت بر الفاظ در وضع اول دارند ــ در وضع اول به کار رفته اند.
راسل بنا بر قاعده ای (هر جمله متناقض با خود مستلزم نقیضش است، A ~ ÃA ~ ÃA)، معمای دروغگو را همانند جملات پرسشی و امری و مانند اینها، نه صادق می‌داند نه
کاذب. به این بیان که اگر «هر چه من می‌گویم دروغ است» راست باشد، بنا بر قاعده مذکور متناقض با خود است، پس راست نیست و اگر «هر چه من می‌گویم دروغ است» دروغ باشد، بنا بر قاعده مذکور، متناقض با خود است پس دروغ نیست. بنابراین، معمای دروغگو، نه راست است نه دروغ.
(۱) علی بن محمد آمدی، الاحکام فی اصول الاحکام، ج ۱، چاپ سید جمیلی، بیروت ۱۴۰۴/۱۹۸۴.
(۲) ابن کمونه، الجدید فی الحکمة، چاپ حمید مرعید کبیسی، بغداد ۱۴۰۳/۱۹۸۲.
(۳) مفضّل بن عمر اثیرالدین ابهری، تنزیل الافکار فی تعدیل الاسرار، ضمن تعدیل المعیار فی نقد تنزیل الافکار، از محمد بن محمد نصیرالدین طوسی، در منطق و مباحث الفاظ: مجموعه متون و مقالات تحقیقی، چاپ مهدی محقق و توشی هیکو ایزوتسو، تهران: دانشگاه تهران، ۱۳۷۰ ش.
(۴) مفضّل بن عمر اثیرالدین ابهری، کشف الحقایق فی تحریر الدقائق، نسخة خطی دارالکتب المصریه، ش ۱۶۲.
(۵) ارسطو، منطق ارسطو، چاپ عبدالرحمان بدوی، بیروت ۱۹۸۰.
(۶) یوزف فان اس، «ساخت منطقی علم کلام اسلامی»، ترجمة احمد آرام، تحقیقات اسلامی، سال ۱، ش ۲ (۱۳۶۵ ش).
(۷) فضل اللّه استرآبادی، آداب مناظره، نسخه خطی کتابخانه مجلس شورای اسلامی، مجموعه طباطبائی، دفتر ۱، ش ۴۴۱.
(۸) غلامرضا اعوانی، «تعارضات نظریه مجموعه ها»، در حکمت و هنر معنوی: مجموعه مقالات، تألیف و ترجمه غلامرضا اعوانی، تهران: گرّوس، ۱۳۷۵ ش.
(۹) مرتضی بن محمدامین انصاری، فرائد الاصول، چاپ عبداللّه نورانی، قم ۱۳۶۵ ش.
(۱۰) محمدتقی بروجردی، نهایه الافکار، تقریرات درس آیة اللّه عراقی، ج ۳، قم: مؤسسة النشر الاسلامی.
(۱۱) عبدالقاهربن طاهر بغدادی، کتاب اصول الدین، استانبول ۱۳۴۶/۱۹۲۸، چاپ افست بیروت ۱۴۰۱/۱۹۸۱.
(۱۲) محب اللّه بن عبدالشکور بهاری، مسلّم الثبوت، ضمن فواتح الرحموت بشرح مسلّم الثبوت، از عبدالعلی محمدبن نظام الدین محمد انصاری، در محمدبن محمد غزالی، المستصفی من علم الاصول، ج ۱، بولاق ۱۳۲۲، چاپ افست بیروت.
(۱۳) آلفرد تارسکی، برهان گودل و حقیقت و برهان، ترجمة محمد اردشیر، تهران ۱۳۶۴ ش.
(۱۴) مسعود بن عمر تفتازانی، شرح المقاصد، چاپ عبدالرحمان عمیره، قاهره ۱۴۰۹/۱۹۸۹، چاپ افست قم ۱۳۷۰ـ۱۳۷۱ ش.
(۱۵) عبداللّه جیلانی، الرسالة المحیطة بتشکیکات فی القواعد المنطقیة مع تحقیقاتها، در منطق و مباحث الفاظ: مجموعه متون و مقالات تحقیقی.
(۱۶) محمد بن احمد خفری، حیرة الفضلاء، نسخه خطی کتابخانه مرکزی دانشگاه تهران، مجموعه مشکوة، ش ۲/۸۶۸.
(۱۷) محمد بن احمد خفری، عبرة الفضلاء فی حل شبهة جذر الاصم، چاپ احد فرامرز قراملکی، در خردنامة صدرا، ش ۴ (تیر ۱۳۷۵).
(۱۸) میرصدرالدین محمد بن ابراهیم دشتکی، «رسالة فی شبهة جذر الاصم: پارادوکس دروغگو»، چاپ احد فرامرز قراملکی، در همان، ش ۵ و ۶ (پاییز و زمستان ۱۳۷۵).
(۱۹) محمد بن اسعد دوانی، نهایة الکلام فی حل شبهة جذر الاصم، چاپ احد فرامرز قراملکی، در نامة مفید، سال ۲، ش ۵ (بهار ۱۳۷۵).
(۲۰) محمد بن عبدالفتاح سراب تنکابنی، رسالة فی حل شبهه «کل کلامی
کاذب»، نسخه خطی کتابخانه مرکزی دانشگاه تهران، مجموعه مشکوة، میکروفیلم، ش ۷۲۸۹.
(۲۱) حسن بن یوسف علامه حلّی، الاسرار الخفیّة فی العلوم العقلیّة، قم ۱۳۷۹ ش.
(۲۲) محمد بن محمد فارابی، کتاب الحروف، چاپ محسن مهدی، بیروت ۱۹۸۶.
(۲۳) محمد بن محمد فارابی، المنطقیات للفارابی، چاپ محمدتقی دانش پژوه، قم ۱۴۰۸ـ۱۴۱۰.
(۲۴) احد فرامرز قراملکی، «کمال الدین محمود بخاری و معمای جذر أصم»، خردنامة صدرا، ش ۱۴ (زمستان ۱۳۷۷).
(۲۵) احد فرامرز قراملکی، معمای جذر أصم نزد متکلمان.
(۲۶) احد فرامرز قراملکی، پارادوکس دروغگو، ش ۵ و ۶ (پاییز و زمستان ۱۳۷۵).
(۲۷) احد فرامرز قراملکی، «معمای جذر أصم نزد منطقدانان قرن هفتم: پارادوکس دروغگو»، همان، ش ۷ (بهار ۱۳۷۶).
(۲۸) قاضی عبدالجباربن احمد، المغنی فی ابواب التوحید و العدل، ج ۵، چاپ محمود محمد خضیری، قاهره ۱۹۶۵.
(۲۹) محمود بن مسعود قطب الدین شیرازی، درة التاج، بخش ۱، چاپ محمد مشکوة، تهران ۱۳۶۹ ش.
(۳۰) علی بن عمر کاتبی قزوینی، عین القواعد، تصحیح و تحقیق زهرا شفاعی، پایان نامة کارشناسی ارشد فلسفه و کلام اسلامی، دانشکده الهیات، دانشگاه تهران، ۱۳۸۲ ش.
(۳۱) حسین بن محمد محقق خوانساری، رسالة فی شبهة جذر الاصم، (چاپ) احد فرامرز قراملکی، در خردنامه صدرا، ش ۱۰ (زمستان ۱۳۷۶).
(۳۲) ضیاء موحد، از ارسطو تا گودل: مجموعه مقاله‌های فلسفی ـ منطقی، مقالة ۸ : «پارادوکس ها»، تهران ۱۳۸۲ ش.
(۳۳) ضیاء موحد، واژه نامه ی توصیفی منطق: انگلیسی به فارسی، تهران ۱۳۷۴ ش.
(۳۴) محمدباقر بن محمد میرداماد، الافق المبین، نسخه عکسی دانشگاه تهران، ج ۱، ش ۶۵۲۱.
(۳۵) محمد بن محمد نصیرالدین طوسی، تعدیل المعیار فی نقد تنزیل الافکار، در منطق و مباحث الفاظ: مجموعه متون و مقالات تحقیقی، نسخه عکسی دانشگاه تهران، ج ۱، ش ۶۵۲۱.
(۳۶) قاضی عبدالجبار معتزلی، المغنی.
(۳۷) ابومنصور عبدالقاهر بغدادی، اصول الدین.
دانشنامه جهان اسلام، بنیاد دائرة المعارف اسلامی، برگرفته از مقاله «جذر اصم»، شماره۴۵۳۶.
