• خواندن
  • نمایش تاریخچه
  • ویرایش
 

تربیع دایره

ذخیره مقاله با فرمت پی دی اف


‌تربیع دایره، مسئله‌ای در هندسه درباره ترسیم مربعی که مساحتش با مساحت دایره‌ای مفروض برابر باشد و به زبان امروزی، مسئله تربیع دایره، یافتنِ رابطه‌ای برای مساحت دایره، برحسب قطر یا شعاع آن است. این مسئله از مسائلی است که در یونان باستان توسط ریاضی‌دانان یونانی مطرح بوده و بعدها در جامعه اسلامی راه یافته و فیلسوفان اسلامی آنرا جزء مسائل فلسفی هم دانسته و به نقد راه‌حل‌های یونانیان پرداخته‌اند که قابل بررسی است.

فهرست مندرجات

۱ - توضیح اجمالی
۲ - راه‌حل ریاضی‌دانان‌ یونانی
       ۲.۱ - اشکال فیلسوفان اسلامی
              ۲.۱.۱ - ارسطو
              ۲.۱.۲ - ابن‌سینا
                     ۲.۱.۲.۱ - رد اشکال ارسطو
       ۲.۲ - استدلال بقراط خیوسی
              ۲.۲.۱ - رد استدلال توسط ابن‌سینا
       ۲.۳ - راه‌حل آنتیفون
۳ - امکان تربیع دایره از نظر ابن‌هیثم
۴ - قدمت فرمول مساحت دایره
۵ - نسبت محیط دایره به قطر
۶ - رساله تکسیر دایره
       ۶.۱ - مراحل اثبات مساحت دایره
       ۶.۲ - ارتباط تکسیر دایره با رساله درباره مارپیچ
       ۶.۳ - ترجمه تکسیر دایره
۷ - روش بنی‌موسی
۸ - استفاده طوسی از تکسیر دایره
۹ - روش خوارزمی
۱۰ - روش غیاث‌الدین کاشانی
۱۱ - دیدگاه محمدباقر یزدی
۱۲ - محاسبه ریاضی‌دانان اروپایی
۱۳ - فهرست منابع
۱۴ - پانویس
۱۵ - منبع

تَرْبیعِ دایِره، یکی از مسائل دیرین هندسی، به زبان امروزی، مسئله تربیع دایره، یافتنِ رابطه‌ای است برای مساحت دایره برحسب قطر یا شعاع آن، اما در نظر ریاضی‌دانان یونانی که مساحت هر شکل را معمولاً بر حسب مساحت شکلِ داده‌شده‌ای بیان می‌کردند، تربیع دایره عبارت بود از یافتن مربعی که مساحت آن مساوی با مساحت دایرۀ مفروضی باشد. گذشته از این، ریاضی‌دانان یونانی، دست کم تا قرن ۴ق‌م می‌خواستند این مسئله را تنها با استفاده از خط‌کش و پرگار حل کنند. به این اعتبار، تربیع دایره، در کنار تثلیث زاویه و تضعیف مکعب، از مسائل لاینحلِ ریاضیات قدیم محسوب می‌شد. اما برخلاف آن دو مسئله، تربیع دایره تنها موضوع بحث ریاضی‌دانان نبوده، بلکه فلاسفه نیز از آن سخن گفته‌اند. گذشته از این، مسئله تربیع دایره با یافتنِ نسبتِ محیط دایره به قطر آن (یعنی عدد π) نیز ارتباط دارد.
این مسئله، یکی از مسائل هندسی مشهور در یونان باستان و دوره اسلامی است. اگر بتوان شکلی محصور با پاره‌خط‌های راست یافت که مساحتش با مساحت دایره مفروض برابر باشد، این مسئله حل شدنی است.
نسل‌های متوالی از هندسه‌دانان یونان با این مسئله و گونه‌های مختلف آن درگیر بودند. در حدود ۴۵۰ ق م بقراط خیوسی نشان داد که به کمک خط‌کش و پرگار می‌توان مربعی هم مساحت با نوع خاصی ماهک (شکل هلالی محصور به دو کمان دایره) رسم کرد. او همچنین نشان داد که می‌توان مربعی یافت که مساحتش با نوعی دیگر از ماهک به علاوه یک دایره برابر باشد، البته این کار منجر به حل مسئلة تربیع دایره نمی‌شود.
[۱] ابن‌هیثم، محمد بن حسن، مقالة فی تربیع الدایرة، ج۱، ص۱۸۳ـ۲۰۰.

آنتیفونِ آتنی (ح ۴۰۰ ق م) متوجه شد که تربیع دایره‌ به‌طور تقریبی ممکن است، زیرا می‌توان مربع‌هایی رسم کرد که مساحتشان با چندضلعی‌های منتظم محاطی دارای چهار یا هشت یا شانزده... ضلع برابر باشد. دینوستراتوس (میانه قرن چهارم پیش از میلاد) برای تربیع دایره از یک منحنی غیرجبری به نام مربع ساز استفاده کرد. ارشمیدس (قرن سوم پیش از میلاد) ثابت کرد که مساحت دایره با مساحت مثلث قائم الزاویه‌ای که قاعده‌اش برابر با محیط دایره و ارتفاعش برابر با شعاع دایره باشد، برابر است، بنابراین، در صورتی که بتوان پاره خط راستی مساوی با محیط دایره رسم کرد، تربیع دایره ممکن است. ارشمیدس چنین پاره خطی را به کمک خط مماس بر یک مارپیچ رسم کرد. هیچیک از این راه‌حل‌ها با ابزارهای متعارف در هندسه اقلیدسی (خط‌کش و پرگار) مقدور نیست و در واقع حل این مسئله با خط‌کش و پرگار ناممکن است.
[۲] ابن‌هیثم، محمد بن حسن، مقالة فی تربیع الدایرة، ج۱، ص۱۸۳ـ۲۰۰.
ارشمیدس روش دیگری هم برای حل این مسئله عرضه کرد که در نهایت مفیدتر از کار در آمد. او با در نظر گرفتن ۹۶ ضلعیهای منتظم محاطی و محیطی نشان داد که نسبت محیط دایره به قطر آن ــ که اکنون با حرف یونان نشان داده می‌شود ــ بتقریب ۱۷ ۳ ۱۰۷۱ ۳ است.
ریاضیدانان دوره اسلامی نیز برای حل مسئله تربیع دایره، آن را از جنبه نظری و عملی یعنی بسط تقریبی و تکمیل روش دوم ارشمیدس، بررسی کردند. دانشمندان دوره اسلامی نخستین بار از طریق رساله تربیع الدائره ارشمیدس که ثابت بن قُرّه
[۳] فؤاد سزگین، تاريخ التراث العربى، ج۵، ص۱۳۰ـ۱۳۱
آن را از یونانی به عربی ترجمه کرد، با مسئلة تربیع دایره آشنا شدند. این رساله در دوره اسلامی به نام‌های تکسیر دایره، مساحة الدایره، و کتاب مساحة الدائره و تکسیرها نیز شناخته می‌شد.
[۴] فؤاد سزگین، تاريخ التراث العربى، ج۵، ص۱۳۰.


ریاضی‌دانان‌ یونانیِ قرن‌های ۵ و۴ق‌م، از ۳ راه برای تربیع دایره کوشیده‌اند. یکی از این ۳ راه به بروسون فرزند هِرُدُروسِ هِراکْلِئایی منسوب است که تاریخ زندگی‌اش معلوم نیست، اما احتمالاً معاصرِ افلاطون بوده است. دیگری راه حلِ بقراط خیوسی ریاضی‌دانِ قرن ۵ق‌م است. راه حل سوم از آنتیفون سوفسطایی (همان‌ قرن) است که درباره او نیز اطلاع اندکی داریم. اوتوکیوس عسقلانی در شرح خود بر «تکسیر دایره» ارشمیدش، از کسانی که پیش از ارشمیدس سعی در تربیع دایره داشته‌اند ــ و ازجمله از بقراط خیوسی و آنتیفون ــ نام برده است.
[۵] Eutocus، Commentaire sur le traité de la mesure du cercle ، v۱، p۶۹۹-۷۰۰، Les Œuvres complètes d’Archimède، vol II، Brugge، ۱۹۲۱.


۲.۱ - اشکال فیلسوفان اسلامی

اطلاع ما از این ۳ راه حل عمدتاً از راه بحث‌هایی است که در آثار ارسطو و شارحان او و فیلسوفان اسلامی درباره آن‌ها شده است، زیرا از همان آغاز به نظر می‌آمد که دست‌کم مشکل برخی از این ۳ راه حل بیش از آن‌که هندسی باشد، فلسفی است.

۲.۱.۱ - ارسطو

ارسطو می‌گوید که هرچند رد تربیع دایره از راه استفاده از «پاره‌ها» کار هندسه‌دانان است، اما رد استدلال آنتیفون کار ایشان نیست و تلویحاً دلیل این امر را این می‌داند که در این استدلال از مقدمات طبیعی استفاده شده است. (ارسطو، فیزیک، گ ۱۸۵ a، سطرهای ۱۴-۲۰) عموماً منظور ارسطو از تربیع دایره با استفاده از پاره‌ها را همان استدلال بقراط خیوسی می‌دانند
[۶] Heath، Th L، v۲، p۲۲۱، A History of Greek Mathematics، Oxford، ۱۹۲۱.
[۷] فارابی، محمد بن طرخان، المنطقیات، ج۱، ص۳۴۳، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، قم، ۱۴۰۸ق.
اما، چنان‌که خواهیم دید، فیلسوفان درباره این راه حل نیز بحث کرده‌اند.
ارسطو در «تحلیلهای دومین» و «رد بر سفسطه‌گران» به راه‌حل بروسون ــ که در جای دیگری او را سوفسطایی خوانده ــ اشاره کرده است. وی وارد جزئیات اثبات بروسون نمی‌شود، بلکه بر او ایراد می‌گیرد که این قضیه را بر مبنای مقدمات بیش از اندازه کلی اثبات کرده است، به این معنی که مقدماتی که در اثبات خود به کار برده، اختصاص به هندسه نداشته است، در حالی که به نظر ارسطو، «نمی‌توان چیزی را جز از روی مبانی (خاص) آن ثابت کرد». منظور ارسطو از این تذکرْ درست روشن نیست. احتمالاً او مقدمات استدلال بروسون را واجد دیگر شرایطی که مقدمات برهان باید داشته باشند، می‌دانسته است و تنها به این سبب بر او ایراد گرفته که مقدماتی که به کار برده، مختص هندسه نبوده است.
اجمال سخن ارسطو باعث شده است که مفسرانِ او و فلاسفه دیگر در این‌باره بسط سخن دهند. فارابی مقدماتی را که بروسون به کار برده بوده، غیر ذاتی و کلی دانسته، و از این‌رو، بیان او را جدلی شمرده، و گفته است که هندسه‌دانان به این‌گونه بیان‌ها توجهی ندارند.
[۸] ابن‌زرعه، عیسی، منطق، ج۱، ص۲۳۷- ۲۳۸، به کوشش جیرار جیهامی و رفیق عجم، بیروت، ۱۹۹۴م.
[۹] نصیرالدین طوسی، محمد بن محمد، اساس الاقتباس، ج۱، ص۴۰۷- ۴۰۸، به کوشش محمدتقی مدرس رضوی، تهران.    


۲.۱.۲ - ابن‌سینا

ابن‌سینا نیز، در سفسطۀ شفا
[۱۰] ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، منطق، سفسطه، ص۵۷، به کوشش احمد فؤاد اهوانی، قاهره، ۱۳۳۷ق/۱۹۵۸م.
به برهان بروسون اشاره کرده، و آن‌را به این دلیل که در آن از مقدمات «خارجی غیر مناسب» استفاده شده، «قیاس خارجی جدلی» خوانده و گفته است که در کتاب برهانِ شفا نیز از این موضوع سخن گفته است. وی از راه‌حل آنتیفون نیز در حل این مسئله یاد کرده، و آن را نیز به این دلیل که در آن از مقدمات خارجی استفاده شده، نادرست شمرده است.
با این حال، ابن‌سینا در کتاب برهانِ شفا، راه دیگری برای اثبات نادرستیِ استدلال بروسون عرضه می‌کند. وی نخست، منظور ارسطو را توضیح می‌دهد و می‌گوید که هرچند شاید قیاسی که بروسون برای تربیع دایره آورده، بر مقدمات صادق و بدیهی و کلی استوار بوده، اما برهان هندسی محسوب نمی‌شده است، زیرا این مقدمات مناسب نبوده‌اند. به نظر ابن‌ سینا، بروسون چنین استدلال کرده بوده است که دایره را مثلاً می‌توان به مثلث‌هایی تجزیه کرد و می‌توان مربعی مساوی با هریک از این مثلث‌ها پیدا کرد. بنابراین، مربعی می‌توان یافت که مساوی مجموع این مثلث‌ها باشد، و این مربع مساوی با دایره خواهد بود. به گفته ابن‌ سینا، بروسون در توضیح منظور خود ۳ مقدمه آورده بوده است: ۱. دایره از هر چندضلعی محاط در آن بزرگ‌تر است. ۲. دایره از هر چندضلعی محیط بر آن کوچک‌تر است. ۳. پس دایره مساوی با شکلی است که از هر چندضلعیِ محیط بر آن کوچک‌تر و از هر چندضلعیِ محاط در آن بزرگ‌تر باشد. بنابراین، چندضلعی‌ای مساوی با دایره یافت می‌شود.

۲.۱.۲.۱ - رد اشکال ارسطو

ابن‌سینا تلویحاً اشکال ارسطو را ــ که خود او نیز در کتاب سفسطه شفا به‌اجمال تقریر کرده است ــ وارد نمی‌داند، زیرا به‌ نظر او مقدماتی که بروسون در برهان خود به کار برده، به‌خصوص مقدمه سوم، هرچند اختصاصی به مقادیر (یعنی کمّ متصل) ندارد، اما به جنس مقادیر (یعنی کمّ) مختص است و کاربردِ این‌گونه مقدمات در علوم اشکالی ندارد. از جمله این‌گونه مقدمات، ابن‌سینا به اصل پنجم از علوم متعارف هندسه اقلیدسی (کل از جزء بزرگ‌تر است) اشاره می‌کند که هم در مورد کمّ متصل صادق است و هم در مورد کمّ منفصل و نتیجه می‌گیرد که «مبادی‌ای که در علوم جزئی به کار می‌رود، منحصر به مبادی‌ای نیست که محمولات آن‌ها به موضوعات آن علوم اختصاص داشته باشد، بلکه محمولاتی نیز که مختص جنس‌های آن موضوعات است، در این علوم به کار می‌رود» با این حال، در این کاربرد، باید نقل از عموم به‌خصوص کرد، یعنی مقدمه‌ای را که مثلاً هم در مورد اعداد و هم در مورد مقادیر صادق است، باید یک‌بار با تصریح به اعداد و بار دیگر با تصریح به مقادیر بیان کرد.
[۱۱] ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، طبیعیات، السماء والعالم، ص۴۱-۴۹، به کوشش ابراهیم مدکور و محمد قاسم، قاهره، دارالکتب العربی.

به نظر ابن‌ سینا، این مقدمه با تصریح به این‌که کاربرد آن در مورد مقادیر است، درست می‌شود. اما اشکال استدلال به این صورت از میان نمی‌رود، زیرا هر حالتِ متناهی (یعنی هر دو چندضلعی محیطی و محاطی واقعی) را که در نظر بگیریم، بین آن‌ها بی‌نهایت چندضلعی وجود دارد که از یکی بزرگ‌تر و از دیگری کوچک‌ترند. از این‌رو، دو اشکال دیگر بر استدلال بروسون وارد می‌شود. یکی در خـود استدلال است که در آن ــ ناگفته ــ از مفاهیم قوه و فعل استفاده شده است. در حالی که این مفاهیم نه از عوارض ذاتیِ مقادیر و اشکال است و نه از عوارض ذاتیِ جنسِ کم، بلکه از عوارض ذاتیِ موجود است و کاربرد آن‌ها در علوم دیگر در صورتی مجاز است که اشیائی که این علوم از آن‌ها سخن می‌گویند، بتوانند وجودِ بالقوه و بالفعل داشته باشند، مانند اموری که پذیرای تغییر و حرکت‌اند. در حالی که شکل‌های هندسیْ مجرد از ماده فرض می‌شوند و در وهم و عقل به آن‌ها به عنوان امور موجود، و نه بالقوه، اشاره می‌شود.
اشکالی هم که بر نتیجه این استدلال وارد می‌شود این است که ضلع مربعی که، بنا بر استدلال بروسون، معادل دایره است، قابل اشاره بالفعل نیست، بلکه وجود بالقوه دارد. ابن ‌سینا با این استدلالِ بدیع نتیجه می‌گیرد که استدلال بروسون هندسی نیست، بلکه جدلی یا منطقی است و از این‌رو ست که خارجی به‌شمار می‌آید.
[۱۲] ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، برهان، ص۱۷۴-۱۷۷، به کوشش ابوالعلاء عفیفی، قاهره، ۱۳۷۵ق/۱۹۵۶م.


۲.۲ - استدلال بقراط خیوسی

استدلال بقراط خیوسی برای تربیع دایره با استدلال بروسون متفاوت بوده است. ظاهراً بقراط چون به تربیع برخی از هلال‌واره‌ها، یعنی برخی از اشکالی که به خطوط مستقیم و کمان یا کمان‌هایی از دایره محصورند، موفق شده بوده است، و چون هلال‌واره‌ها بخش‌هایی از دایره‌اند، دایره را نیز قابل تربیع شمرده بوده است
[۱۳] فارابی، محمد بن طرخان، المنطقیات، ج۱، ص۳۴۳، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، قم، ۱۴۰۸ق.
استدلال بقراط در تربیع هلال‌واره‌ها از طریق سیمپلیکوس به دست ما رسیده است و او نیز آن را از یکی از آثار گمشده اسکندر افرودیسی نقل کرده است
[۱۴] a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۶، p۴۱۱-۴۱۲، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.
بقراط در تربیع هلال‌واره‌ها از این قضیه استفاده کرده بوده است که نسبت مساحت دو مثلث مثل نسبت مربع شعاع‌های آن‌ها ست، اما ظاهراً اثبات دقیق این قضیه را نمی‌شناخته، زیرا این اثبات را که در قضیه دوم از مقاله دوازدهم اصول اقلیدس آمده، نخستین‌بار اِئودُکْسوس پس از بقراط عرضه کرده است.
[۱۵] Knorr، W R، v۱، p۷۶، The Ancient Tradition of Geometric Problems، Boston، ۱۹۸۶.


۲.۲.۱ - رد استدلال توسط ابن‌سینا

ابن‌سینا در قیاسِ شفا، آنجا که درباره استقرا سخن می‌گوید، بدون تصریح به نام بقراط خیوسی این استدلال را مثال می‌آورد و آن را نمونه استدلالی می‌شمارد که به نظر می‌آید در آن از استقرا استفاده شده است، درحالی که چنین نیست. به نظر ابن‌ سینا این استدلال بر دو مقدمه استوار بوده است:
۱. دایره مساوی مجموعه‌ای از شکل‌های مستقیم‌الخط است.
۲. هرچه مساوی شکل‌هایی مستقیم‌الخط باشد، قابل تربیع است، پس دایره قابل تربیع است. اما این دو مقدمه بدیهی‌اند، زیرا می‌توان دایره را به شکل‌های هلالی تقسیم کرد و هریک از این شکل‌های هلالی مساوی مربعی است، پس دایره مساوی مربعی است.
به نظر ابن‌سینا دو چیز می‌تواند این استدلال را از لحاظ استقرایی بی‌اعتبار کند. یکی این‌که دایره به تمامی به شکل‌های هلالی تجزیه نمی‌شود و شکلی غیر هلالی از آن باقی می‌ماند. ابن ‌سینا می‌گوید: این اشکال با تعریف استقرا ناسازگار نیست، زیرا استقرا با در نظر گرفتنِ بیشتر موارد تمام می‌شود، هرچند از مواردی غفلت شده باشد. با این حال، ابن‌ سینا می‌گوید: استقراکننده که احتمالاً در این مورد همان بقراط خیوسی است، مدعی بوده که همه موارد را در نظر گرفته است.
ایراد مهم‌تری که ابن ‌سینا بر استقرایی بودنِ این برهان می‌گیرد، این است که استقرا روی جزئیاتی که تحت یک کلی قرار می‌گیرند، انجام می‌پذیرد، در حالی که نسبت هلال‌واره‌ها به دایره مثل نسبت جزء به کل است، نه نسبت جزئی به کلی، یعنی هلال‌واره‌ها اجزاء دایره‌اند، نه دایره‌هایی که تحت نوع کلیِ دایره قرار بگیرند.
[۱۶] ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، منطق، قیاس، ص۵۶۷، به کوشش سعید زاید، قاهره، ۱۳۸۳ق/۱۹۶۴م.
ابن‌ سینا در جای دیگری هم راه حل بقراط را شرح داده، و آن‌را به این دلیل که دایره را نمی‌توان به هلال‌واره‌ها تقسیم کرد، نادرست شمرده است.
[۱۷] ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، منطق، سفسطه، ص۵۸، به کوشش احمد فؤاد اهوانی، قاهره، ۱۳۳۷ق/۱۹۵۸م.


۲.۳ - راه‌حل آنتیفون

راه‌حل آنتیفون برای تربیع دایره با دو راه حل دیگر متفاوت بوده است و هیث آن‌را در تکوین راه‌حل ارشمیدسی تربیع دایره و محاسبه عدد π مؤثر شمرده است ظاهراً وی بر این اعتقاد بوده است که اگر مربعی را در دایره محاط کنیم و سپس وسط‌های کمان متناظر به هر ضلع مربع را به دو سر آن کمان وصل کنیم و این کار را به اندازه کافی ادامه دهیم، به جایی می‌رسیم که اضلاع چندضلعی منتظمی که از این راه به دست می‌آید، به اندازه‌ای کوچک می‌شوند که بر دایره منطبق می‌گردند و میان دایره و چندضلعی منتظم تفاوتی باقی نمی‌ماند
[۱۸] a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۱، p۱۷۱، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.
و چون هر چندضلعی منتظم تربیع‌پذیر است، پس دایره نیز تربیع‌پذیر است. گویا وی در این اعتقاد متأثر از پروتاگوراس سوفسطایی بوده که معتقد بوده است خطِ مماس بر دایره آن را در یک نقطه قطع نمی‌کند بلکه، همان‌طور که به‌چشم می‌بینیم، دایره و خط مماس چندین نقطه مشترک دارند. شاید نیز آنتیفون از اتمیست‌ها که به نقطه هندسی قائل نبودند و فی‌المثل‌ سطح ‌خارجی مخروط ‌را متشکل ‌از اجزاء لایتجزی و بنابراین، پله‌پله می‌دانستند، متأثر بوده است. حتی حدس زده می‌شود که دموکریتوس‌ فرمول‌های حجم‌مخروط و هرم را ــ که ارشمیدس در رساله «روش...»، کشف آن‌ها را از او دانسته است
[۱۹] a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۱، p۴۷۹، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.
ــ از این راه به دست آورده باشد.
[۲۰] a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۴، p۳۴، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.


در دوران اسلامی، تنها ریاضی‌دان بزرگی که تربیع دایره را ممکن شمرده، ابن‌هیثم است. رساله او به‌نام مقالة فی تربیع‌ الدائره، اگر از روی شمار نسخ موجود آن داوری کنیم، بیش از هر اثر او استنساخ شده است
[۲۱] » Al،Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle، v۲، p۲۳، Rashed، R،» Al-Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle’ «، Arabic Sciences and Philosophy، volIII (۱)،.
و در آن
[۲۲] ابن‌هیثم، محمد بن حسن، مقالة فی تربیع الدایرة.
از رسالة مساحة الدایره ارشمیدس یاد کرده است و در بسیاری از مجموعه‌های کتب متوسطات نسخه‌ای از این رساله نیز موجود است.
[۲۳] » Al،Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle، v۲، p۳۴، Rashed، R،» Al-Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle’ «، Arabic Sciences and Philosophy، volIII (۱)،.

ابن هیثم این رساله را در جریان پژوهش‌های خود درباره هلال‌واره‌ها و پس از فی الهلالیات و پیش از مقالة مستقصاة فی الاشکال الهلالیه نوشته است. استدلال ابن هیثم بر این پایه است که دایره و مربع دو کمیتِ (مقدارِ) همجنس‌اند و بنابراین میان آن‌ها نسبتی ‌هست. ابن ‌هیثم سعی می‌کند که مقدار این نسبت را به دست ‌آورد، اما استدلال او دوری است، به این معنی که ترسیمی‌که وی از آن سخن می‌گوید، به شناخت مقداری وابسته است که خود آن تابعی از π است. با این حال، این رساله را می‌توان بیش‌تر به فلسفۀ ریاضی متعلق شمرد و محتوای آن را تأملی در رابطه میان وجود موجودات هندسی و ترسیم‌پذیر بودن آن‌ها دانست. در یادداشتی کـه در پایان برخی از نسخ این رساله موجود است ــ و از ابن‌رضوان مصری یا از ریاضی‌دانی به نام سُمَیساطی است ــ از ابن هیثم به همین سبب انتقاد شده است که اثبات وجود چیزی مسئله ترسیم‌پذیری آن‌را حل نمی‌کند.
[۲۴] » Al،Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle، v۲، p۳۶، Rashed، R،» Al-Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle’ «، Arabic Sciences and Philosophy، volIII (۱)،.

سوتر، مقالة فی تربیع الدایرة را به آلمانی ترجمه کرد و متن عربی را به همراه ترجمة آلمانی در ۱۸۹۹ در برلین به چاپ رساند. این رساله به فرانسوی
[۲۵] آلبرتینی، ص ۱۲ـ۱۷.
نیز ترجمه شده است. ابن هیثم همچنین مسئله تربیع دایره را‌ به‌طور نظری با مسئله کلیتر تربیع ماهک‌ها مقایسه کرده که تقریباً همان روش بقراط خیوسی برای تربیع ماهک‌هاست. ابن هیثم
[۲۶] ابن‌هیثم، محمد بن حسن، مقالة فی تربیع الدایرة، ج۱، ص۴۲.
استدلال کرده است که اگر بتوان ماهک‌ها را تربیع نمود، امکان تربیع دایره نیز وجود خواهد داشت. او دو رسالة مقالة مختصرة فی الاشکال الهلالیه و مقالة مستقصاة فی الاشکال الهلالیه
[۲۷] ابن‌ابی‌اصیبعه، احمد بن قاسم، عیون الانباء فی طبقات الاطباء، ج۱، ص۵۵۹.    
را درباره تربیع شکل‌های هلالی (ماهک‌ها) تألیف کرده بوده که در مقالة فی تربیع الدایرة خود
[۲۸] ابن‌ابی‌اصیبعه، احمد بن قاسم، عیون الانباء فی طبقات الاطباء، ج۱، ص۵۵۹.    
از آن‌ها یاد کرده است. مقالة مختصره باقی نمانده است ولی از مقالة مستقصاه چند نسخه وجود دارد.
[۲۹] فؤاد سزگین، تاريخ التراث العربىسزگین، ج۵، ص۳۶۵ـ۳۶۶.


اگر تربیع دایره را به معنای یافتن فرمولی برای مساحت دایره بگیریم، تاریخ این مسئله بسیار قدیم است. این اندیشه که نسبت محیط دایره به قطر آن مقدار ثابتی است، بسیار کهن است. در برخی از آیات تورات، این نسبت تلویحاً ۳ فرض شده است، در نخستین متن ریاضیات چینی ــ که به احتمال زیاد در قرن ۸ ق‌م نوشته شده ــ برای این نسبت همین مقدار آمده است.
[۳۰] Qi and Shu، An Introduction to Science and Civilization in China، Hong Kong، ۱۹۸۵، p۵۹-۶۲، i Ho Peng Yoke، Li، Qi and Shu، An Introduction to Science and Civilization in China، Hong Kong، ۱۹۸۵.
اما اقوام دیگر مقدار این نسبت را دقیق‌تر می‌شناختند. هرچند دلیلی در دست نیست که مصریان باستان در ساختن اهرام از مقدار دقیقی برای π استفاده کرده باشند
[۳۱] Boyer، C B، v۱، p۱۱، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
با این حال، از متونی که از نیمۀ هزارۀ دوم پیش از میلاد به دست ما رسیده است، معلوم می‌شود که ریاضی‌دانان مصری و بین‌النهرینی و ایرانی مقادیر دقیق‌تری برای π می‌شناخته‌اند.
در پاپیروس مصری «اَحمِس»، که تاریخ آن در حدود ۱۶۵۰ق‌م است، مقدار π برابر با اختیار شده است
[۳۲] Boyer، C B، v۱، p۱۷، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
در میان الواحی که باستان‌شناسان فرانسوی در ۱۹۳۶م در شوش کشف کردند، جدولی هست که در آن مقادیر ثابت مربوط به چندضلعیهای منتظم درج شده است. از مقایسه مقادیری که در این جدول برای محیط شش‌ضلعی منتظم و دایره داده شده با رابطه مقدار تقریبی به دست می‌آید
[۳۳] نویگباوئر، اوتو، علوم دقیق در عصر عتیق، ج۱، ص۶۴، ترجمۀ همایون صنعتی‌زاده، تهران، ۱۳۷۵ش.
همچنین ریاضی‌دانان چینی نیز از حدود قرن ۱م مقادیر دقیق‌تری برای π به کار برده‌اند. در «نُه فصل در فن ریاضی» که در اوایل دوران میلادی تألیف شده، و یکی از مهم‌ترین متون ریاضیات چینی است، مقدار ۱۴/۳=π آمده است
[۳۴] Qi and Shu، An Introduction to Science and Civilization in China، Hong Kong، ۱۹۸۵، p۶۳، i Ho Peng Yoke، Li، Qi and Shu، An Introduction to Science and Civilization in China، Hong Kong، ۱۹۸۵.
تسو چونگ چیه (۴۳۰-۵۰۱م) مقدار ۱۴/۳=π را غیردقیق دانسته، و به جای آن مقدار را پیشنهاد کرده که بسیار دقیق‌تر است.
[۳۵] Boyer، C B، v۱، p۲۰۲، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.


بعضی دانشمندان دورة اسلامی به موضوع تعیین نسبت محیط دایره به قطر آن پرداختند، از جمله ابوریحان بیرونی
[۳۶] ابوریحان بیرونی، محمد بن‌ احمد، القانون المسعودی، ج۱، ص۳۰۳.
حدس زد که این نسبت کمّیتی گُنگ است و غیاث‌الدین جمشید کاشانی مقدار تقریبی آن را با استفاده از چندضلعی‌های منتظم محاطی و محیطی دارای ۲۸ ۲، ۳ ضلع تا شانزده رقم دهدهی به دست آورد،
[۳۷] قربانی، ابوالقاسم، کاشانی نامه: احوال و آثار غیاث الدین جمشید کاشانی، ج۱، ص۱۴۳ـ۱۵۲.
اما ریاضیدانان دوره اسلامی همچنان درباره حل شدنی بودن مسئلة تربیع دایره تردید داشتند.
در مکتب‌های مختلف ریاضی جهان کوشش‌هایی شد تا مقدار دقیق که معادل حل مسئله تربیع دایره است، بویژه از طریق نمایش به صورت رشته، تعیین شود. ریاضیدانان چینی مقدار ۳۵۵۱۱۳ را برای یافتند که تا شش رقم دهدهی صحیح است.
در مکتب ریاضی مادهوه در کِرالا (هندوستان) نیز از ۸۵۴/۱۴۵۰ به بعد نتایجی در این راه، بدون زیربنای نظری حساب دیفرانسیل و انتگرال، حاصل شد.
[۳۸] کاتس، ص۴۹۴ـ ۴۹۶.
ریاضیدانان اروپایی نیز در قرن یازدهم/ هفدهم به نتایج مهمی دست یافتند، مثلاً جان والیس ، ریاضیدان انگلیسی، حاصل ضرب بی‌پایان... ۷۶. ۵۶. ۵۴. ۳۴. ۳۲ ۴ را یافت. مثالِ دیگرِ تعیینِ مقدارِ به روش حسابی از گوتفرید ویلهلم لایبنیتس، فیلسوف و ریاضیدان آلمانی، به صورت... ۱۷ - ۱۵ + ۱۳ - ۱ برابر با ۴ است
[۳۹] کاتس، ص۵۲۵ ـ۵۲۷
این پیشرفت با پیدایش حساب دیفرانسیل و انتگرال در قرن یازدهم/ هفدهم مرتبط بود. با این حساب جدید، رشته های مشابه ولی پیچیده‌تری برای تقریب‌زدن به شیوه‌ای کارآمدتر از روش ارشمیدس یافته شد و به کار رفت، مثلاً جان مکین، ریاضیدان انگلیسی، در ۱۱۱۸/ ۱۷۰۶ فرمول را یافت
[۴۰] بکمان، ص۱۴۵.
امروزه به کمک رایانه مقدار تقریب تا چند میلیارد رقم دهدهی به دست آمده است.

به‌رغم نظر هیث، کوشش‌های کسانی چون آنتیفون در حل مسئلۀ تربیع دایره در یافتن فرمولی برای مساحت دایره تأثیر مستقیم نداشته است. در واقع نخستین فرمول دقیق برای مساحت دایره در قضیۀ دوم از مقالۀ دوازدهم اصول اقلیدس
[۴۱] Heath، Th L، v۳، p۳۷۱-۳۷۳، A History of Greek Mathematics، Oxford، ۱۹۲۱.
آمده است. در این قضیه ثابت می‌شود که نسبت مساحت دو دایره مثل نسبت مربع‌های قطرهای آن‌هاست. در این اثبات از قضیۀ اول از مقاله دهم
[۴۲] Heath، Th L، v۳، p۱۴-۱۷، A History of Greek Mathematics، Oxford، ۱۹۲۱.
استفاده شده است که می‌گوید: اگر دو مقدارِ مساوی داشته باشیم و از مقدار بزرگ‌تر بیش از نیم آن را برداریم و از باقی‌مانده نیز بیش از نیم آن را برداریم و این کار را به اندازه کافی ادامه دهیم، سرانجام به جایی می‌رسیم که باقی‌مانده از مقدار کوچک‌تر کمتر خواهد بود.
با این حال، اثری که در محاسبه مساحت دایره بیشترین تأثیر را داشته، رساله تکسیر دایره ارشمیدس است که به اعتقاد برخی از مورخان بخشی از یک رساله بزرگ‌تر بوده که به‌صورت اصلی خود باقی نمانده است.
[۴۳] Heath، Th L، v۲، p۵۰، A History of Greek Mathematics، Oxford، ۱۹۲۱.
اوتوکیوس در شرح خود بر این رساله، هدف ارشمیدس را از تألیف آن حل مسئله کهن تربیع دایره می‌داند. وی می‌نویسد: «ارشمیدس در واقع خواسته است ثابت کند که سطحِ هم‌ارز با دایره چیست، و این چیزی است که مدتها پیش از او فیلسوفان معروف در پی اثبات آن بوده‌اند. زیرا پیدا ست که بقراط خیوسی و آنتیفون در پی همین بودند، اما بعد از پژوهش‌های دقیق به مغالطه‌هایی که خوب می‌شناسیم... رسیدند»
[۴۴] Eutocus،» Commentaire sur le traité de la mesure du cercle «، v۱، p۶۹۹، Les Œuvres complètes d’Archimède، vol II، Brugge، ۱۹۲۱.


۶.۱ - مراحل اثبات مساحت دایره

این رساله شامل ۳ قضیه است:
در قضیه اول، ارشمیدس ثابت می‌کند که مساحت دایره مساوی با مساحت مثلث قائم‌الزاویه‌ای است که یک ضلع مجاور به زاویه قائمه آن مساوی با محیط دایره و ضلع دیگر مساوی با شعاع دایره باشد.
[۴۵] a Ver Eecke، P، v۲، p۱۲۷-۱۲۸، notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon، Brugge، ۱۹۲۱، vol II.
[۴۶] Heath، notes on The Works of Archimedes، v۱، p۹۱-۹۳، Cambridge، ۱۸۸۷.
روش ارشمیدس در اثبات این قضیه کاملاً غیرمستقیم است. وی با محاط کردن و محیط کردن چندضلعی‌های منتظمی در دایره و بر دایره، و با استفاده از روشِ افنا، ثابت می‌کند که فرض این‌که مساحت دایره از مساحت مثلث بیش‌تر یا کمتر باشد، به تناقض می‌انجامد و بنابراین، نتیجه می‌گیرد که این دو مساحت مساوی‌اند.
در قضیه دوم، ثابت می‌شود که نسبت مساحت دایره به مربع قطر آن مثل نسبت ۱۱ به ۱۴ است.
[۴۷] a Ver Eecke، P، v۲، p۱۲۸، notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon، Brugge، ۱۹۲۱، vol II.
[۴۸] Heath، notes on The Works of Archimedes، v۱، p۹۳، Cambridge، ۱۸۸۷.

در قضیه سوم، ثابت می‌شود که نسبت محیط دایره به قطر آن از کوچک‌تر و از بزرگ‌تر است. به عبارت دیگر، اگر قطر دایره را به d و محیط آن را به l نمایش بدهیم،. امروزه مقدار را به π نمایش‌می‌دهیم. در قضیه سوم، ارشمیدس برای محاسبه تقریبی این مقدار، نخست ثابت می‌کند که هرگاه An، ضلعِ n ضلعیِ محیط بر دایره، و an، ضلعِ n ضلعیِ محاط در دایره، معلوم باشد، A۲n وa۲n را می‌توان محاسبه کرد. آن‌گاه با معلوم بودن a۶=R و، مقادیرa۱۲ وA۱۲ را برحسب R (شعاع‌دایره) محاسبه می‌کند و این کار را تا a۹۶ و A۹۶ ادامه می‌دهد و آن‌گاه با استفاده از این‌که محیط دایره (l) از محیط ۹۶ ضلعیِ منتظمِ محیطی کوچک‌تر و از محیط ۹۶ ضلعیِ منتظمِ محاطی بزرگ‌تر است (=π [۴۹] a Ver Eecke، P، v۲، p۱۳۰-۱۳۴، notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon، Brugge، ۱۹۲۱، vol II.
[۵۰] Heath، notes on The Works of Archimedes، v۱، p۹۳-۹۸، Cambridge، ۱۸۸۷.


۶.۲ - ارتباط تکسیر دایره با رساله درباره مارپیچ

به نظر می‌آید که میان قضیه اول «تکسیر دایره» و قضیه بیستم رساله «درباره مارپیچ» ارتباطی وجود داشته باشد. در این قضیه ارشمیدس روشی برای به دست آوردنِ طولی برابر با محیط دایره پیشنهاد می‌کند. این روش به زبان امروزی چنین است: هرگاه در مختصات قطبی در نقطۀ θ=۲π بر مارپیچ به معادلۀ ρ=aθ مماسی رسم کنیم تا خط عمود بر محور قطبی را در نقطۀ A قطع کند، طول OA برابر است با ۲πa، یعنی محیط دایره‌ای به شعاع a. می‌توان گفت که در قضیه اولِ «تکسیر دایره»، مسئله تربیع دایره به پیدا کردنِ طولی مساوی با محیط دایره منجر می‌شود و قضیه بیستمِ «درباره مارپیچ» راهی برای رسم این طول به دست می‌دهد. ارشمیدس در نامه خود به دُزیتِئوس
[۵۱] a Ver Eecke، P، v۱، [۲۴۲، notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon، Brugge، ۱۹۲۱، vol II.
[۵۲] Heath، notes on The Works of Archimedes، v۱، p۱۵۱، Cambridge، ۱۸۸۷.
از این قضیه نام برده، و اوتوکیوس هم به ارتباط آن با تکسیر دایره اشاره کرده است.
[۵۳] Eutocus،» Commentaire sur le traité de la mesure du cercle «، v۱، [۷۰۰، Les Œuvres complètes d’Archimède، vol II، Brugge، ۱۹۲۱.


۶.۳ - ترجمه تکسیر دایره

رساله «تکسیر دایره» جزو آثار معدودی است که از ارشمیدس در دوران نهضت ترجمه به عربی ترجمه شده است. ابن‌ندیم از این کتاب با عنوان کتاب تربیع‌الدائره نام برده است
[۵۴] ابن‌ندیم، محمد بن اسحاق، الفهرست، ج۱، ص۳۲۸.    
اما در منابع دیگر، نام آن به‌صورت فی تکسیرالدائره آمده است. این کتاب از همان آغاز توجه ریاضی‌دانان اسلامی را به خود جلب کرد. کندی در نامه‌ای به یوحنا بن ماسویه (رسالة الکندی الی یوحنا بن ماسویه فی تقریب الدور من الوتر) قضیه سوم این رساله را شرح کرده‌است. این شرح که تنها نسخه آن در کتابخانه مرکزی دانشگاه تهران (در مجموعه شم‌ ۷۰۷۳) محفوظ است، به احتمال زیاد همان رساله‌ای است که نامش در الفهرست یک‌بار به صورت «فی تقریب قول ارشمیدس فی قدر قطرالدائرة من محیطها» و بار دیگر به صورت «فی تقریب وتر الدائرة» آمده است
[۵۵] ابن‌ندیم، محمد بن اسحاق، الفهرست، ج۱، ص۳۱۷.    
[۵۶] Rashed، Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، v۱، p۱۲، London، ۱۹۹۳، vol II.
کندی این شرح را برای تسهیلِ فهمِ نوشته ارشمیدس برای کسانی تألیف کرده است که هرچند به ریاضیات علاقه‌مندند، اما چندان در این فن مهارت ندارند. بنابراین، برخی جزئیات محاسبات را با تفصیل بیشتری بیان می‌کند و نیز برخلاف ارشمیدس، در اثبات‌های خـود به قضایای اصول اقلیدس ارجاع می‌دهد.
[۵۷] Rashed، Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، v۱، p۱۸، London، ۱۹۹۳، vol II.


یافتنِ رابطه‌ای برای مساحت دایره یکی از مسائلی است که بنی‌موسی که معاصر کندی بوده‌اند، در کتاب معرفة مساحة الاشکال بسیطة و الکریه به آن پرداخته‌اند. اثبات ایشان برای مساحت دایره هرچند ملهم از روش ارشمیدس است، اما با آن تفاوت‌های مهمی دارد. نخست‌ اینکه بنی موسی در قضیه چهارم رساله خود، مساحت دایره را به صورت حاصل‌ضرب شعاع آن در محیط آن تعریف می‌کنند. از این نظر روش آن‌ها هم با روش اقلیدس متفاوت است، که از نسبت مساحت‌های دو دایره سخن می‌گوید، و هم با روش ارشمیدس که مساحت دایره را برحسب مساحت شکل دیگری تعریف می‌کند.
ثانیاً، بنی موسی هرچند اثبات خود را مانند اثبات ارشمیدس بر دو بار استفاده از برهان خلف مبتنی می‌کنند، اما به جای مقایسه مساحت‌های چندضلعی‌های محاطی و محیطی با مساحت دایره، محیط این چندضلعی‌ها را با محیط دایره مقایسه می‌کنند. این روش بر قضایای دوم و سوم رساله مبتنی است. در قضیه پنجم، بنی موسی ثابت می‌کنند که نسبت قطر دایره به محیط آن مقدار ثابتی است. هرچند ثابت بودن این نسبت جزو مفروضات قضیه سوم تکسیر دایره است، اما بنی‌موسی، برخلاف ارشمیدس، به آن تصریح می‌کنند. روش بنی‌موسی در محاسبه این مقدار ثابت ــ که موضوع قضیه ششم رساله است ــ همان روش ارشمیدسی است و ایشان نیز همان مقدار ارشمیدسی را به دست می‌آورند و در عین حال اشاره می‌کنند که با این روش مقدار π را با هر تقریب دلخواهی می‌توان به دست آورد.

خواجه نصیرالدین طوسی رساله «تکسیر دایره» را در پایان تحریر خود از فی ‌الکرة و الاسطوانه ارشمیدس آورده است، «زیرا پایه آن رساله بر برخی از مصادراتی است که در این کتاب آمده است»
[۵۸] نصیرالدین طوسی، محمد بن محمد، مجموع الرسائل، رساله پنجم، ص۳، حیدرآباد دکن، ۱۳۵۹ق.
با این حال، در برخی از نسخ خطی تحریرهای کتب متوسطات، این رساله دو بار آمده ‌است، یک‌بار ذیل تحریر کره و استوانه و بار دیگر جداگانه.
[۵۹] معصومی همدانی، حسین، استاد بشر، ج۱، ص۲۱، به کوشش نصرالله پورجوادی و ژیوا وسل، تهران، ۱۳۷۹ش.

خواجه نصیرالدین طوسی در قرن هفتم آن‌را بازنویسی کرد. این بازنویسی با عنوان مقالة ارشمیدس فی تکسیر الدائرة در انتهای رسالة تحریر الکرة و الاسطوانة ارشمیدس
[۶۰] فؤاد سزگین، تاريخ التراث العربى، ص ۱۲۷ـ۱۳۳
به چاپ رسیده است. صفدی به اشتباه رساله‌ای با نام تربیع الدایره را به خواجه نصیرالدین طوسی نسبت داده است
[۶۱] صفدی، خلیل بن ایبک، الوافی بالوفیات، ج۱، ص۱۴۹.    
و ون دایک نیز از متن چاپ شده رسالة شکل القطاع خواجه نصیرالدین طوسی به اشتباه با عنوان تربیع الدائره یاد کرده است.
[۶۲] صفدی، خليل بن ايبک، الوافي بالوفيات، ج۱، ص۲۳۹.


خوارزمی در کتاب جبر خود برای π، سه مقدارِ و و را به دست می‌دهد و مقدار اخیر را، که برابر است با ۱۴۱۶/۳، به منجمان نسبت می‌دهد
[۶۳] خوارزمی، محمد، الجبر و المقابله، ج۱، ص۵۵-۵۶، به کوشش علی مصطفی مشرفه و محمد مرسی احمد، قاهره، ۱۹۶۸م.
احتمالاً این مقـدار را آپولونیوس (قرن ۳ق‌م) در یکی از آثار خود ــ که از دست رفته ــ به دست آورده بوده است،
[۶۴] Boyer، C B، v۱، p۱۴۱، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
این مقدار را بطلمیوس در مجسطی
[۶۵] Boyer، C B، v۱، p۱۶۷-۱۶۸، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
از راه محاسبه وتر نیم‌درجه، که برابر است با طول ضلع ۷۲۰ ضلعی محاط در دایره، به‌ دست آورده
[۶۶] a Ptolemy، Almagest، v۱، p۴۸-۵۶، tr G J Toomer، London، ۱۹۸۴.
و هندیان نیز آن را می‌شناخته‌اند
[۶۷] Boyer، C B، v۱، p۲۱۰، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
با این حال، خوارزمی در محاسبه مساحت دایره مقدار π را می‌گیرد
[۶۸] خوارزمی، محمد، الجبر و المقابله، ج۱، ص۶۴، به کوشش علی مصطفی مشرفه و محمد مرسی احمد، قاهره، ۱۹۶۸م.
در بسیاری از کتاب‌های جبر و حساب دوران اسلامی، مقدار π همان اختیار شده است
[۶۹] محاسب، علی بن یوسف، لب الحساب، ج۱، ص۲۳۷-۲۳۸، چ تصویری، تهران، ۱۳۶۸ش.
[۷۰] خاصبکی، مسعود، البدیع فی علم‌الحساب، ج۱، ص۴۰۴-۴۰۸، چ تصویری، سفینۀ تبریز، تهران، ۱۳۸۱ش.
[۷۱] شیخ بهایی، محمد بن حسین، الاعمال الریاضیة، ج۱، ص۹۱، به کوشش جلال شوقی، قاهره، ۱۹۸۱م.
بیرونی در قانون مسعودی محیط ۱۸۰ ضلعی محاط در دایره و محیط بر دایره را محاسبه می‌کند و با فرض این‌که محیط دایره واسطه عددی بین این دو است، مقدار ۱۴۱۷/۳=π را به‌دست می‌آورد
[۷۲] ابوریحان بیرونی، محمد بن‌ احمد، القانون المسعودی، ج۱، ص۳۳۰، حیدرآباد دکن، ۱۳۷۳ق/۱۹۵۴م.
که دقتش از مقداری که خوارزمی به منجمان نسبت داده، کمتر است.

روش غیاث‌الدین جمشید کاشانی در الرسالة المحیطیه برای محاسبه مقدار π بر پایه روش ارشمیدس است، اما او این روش را به صورتی بدیع به کار می‌برد. او از همان شیوه محیط کردن و محاط کردن چندضلعی‌ها استفاده می‌کند، با این تفاوت که از آغاز خطای محاسبه را مشخص می‌کند و برای این‌که مقدار خطا از این‌حد بیش‌تر نشود، شمار اضلاع آخرین چندضلعی را ۲۲۸×۳ اختیار می‌کند. وی به این شیوه مقدار π را تا ۹ رقم شصتگانی (۱۶ رقم اعشاری) به دست می‌آورد. چنین دقتی در محاسبه π نه‌تنها تا آن زمان سابقه نداشت، بلکه ریاضی‌دانان اروپایی نیز تا اواخر قرن ۱۶م بدان دست نیافتند.
[۷۳] قربانی، ابوالقاسم، کاشانی‌نامه، ج۱، ص۱۳۰-۱۵۳، تهران، ۱۳۶۸ش.
غیاث‌الدین خود به تازگی کارش آگاه بوده است و روش خود را به مراتب دقیق‌تر از روش ارشمیدس دانسته است.
[۷۴] کاشانی، غیاث‌الدین جمشید، مفتاح الحساب، ج۱، ص۱۴۷، به کوشش احمد سعید دمرداش و محمد حمدی حنفی شیخ، قاهره، ۱۹۶۷م.


از ریاضی‌دانان متأخر ایرانی، محمدباقر یزدی، نوۀ محمدباقر یزدی صاحب عیون‌ الحساب، در شرحی که بر کتاب جد خود نوشته، دو مقدار را که فرنگیان برای π به دست آورده‌اند، ذکر کرده است. از این دو، یکی مقداری است که فرانسوا ویت در ۱۵۷۹م به دست آورده است و تا ۱۱ رقم اعشاری دقت دارد، و دیگری مقداری است که لودلف وان کولن در ۱۵۹۶م محاسبه کرده، و دقت آن ۲۰ رقم اعشاری است. قربانی ذکر این دو مقدار را در کتاب یزدی نخستین سند آشنایی ایرانیان با ریاضیات جدید اروپایی می‌داند.
[۷۵] a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۱، p۶-۷، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.


از قرن ۱۶م ریاضی‌دانان اروپایی کوشیدند تا مقدار π را با استفاده از سری‌های همگرا محاسبه‌ کنند و این کوشش‌ها به محاسبه مقادیر دقیق‌تری برای این عدد منجر شد. هرچند بیش‌تر ریاضی‌دانان از همان قرن ۴ق‌م به صورت شهودی دریافته بودند که تربیع دایره با استفاده از خط‌کش و پرگار ناممکن است، تا سال ۱۸۸۲م ناممکن بودن این کار ثبت نشده بود. در این سال کارل لیندمان ریاضی‌دان آلمانی در مقاله‌ای ثابت کرد که عدد π متعالی۱ است
[۷۶] Boyer، C B، v۱، p۵۷۳، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
و به این ترتیب، تاریخ مسئله تربیع دایره پایان یافت.
تکلیف مسئله تربیع دایره را سرانجام فردیناند لیندمان، ریاضیدان آلمانی، در ۱۲۹۹/ ۱۸۸۲ با اثبات غیرجبری بودن عدد روشن کرد
[۷۷] کلاین، ص۹۸۱ـ۹۸۲.
معنای حکم او این است که نمی‌تواند ریشه معادله‌ای جبری با ضریب‌های صحیح باشد و بنابراین، مسئله هندسیِ یافتنِ مربعی هم مساحت با دایره مفروض نه با خط‌کش و پرگار حل شدنی است نه با سایر منحنی‌های جبری مثل مقاطع مخروطی که در تثلیثزاویه و تضعیف مکعب به کار می‌روند. اثبات لیندمان بسیار پیچیده است، ولی بعدها نیون، ریاضیدان انگلیسی (۱۲۵۹ـ ۱۳۳۵/ ۱۸۴۳ـ۱۹۱۷)، اثبات‌های ساده‌تری یافت که برای هر دانشجوی ریاضی درک شدنی است. یانوش بویویی، ریاضیدان مجار (۱۲۱۷ـ۱۲۷۶/ ۱۸۰۲ـ۱۸۶۰)، در رساله‌اش درباره هندسه اقلیدسی با نام > پیوست (چاپ ۱۲۴۸/ ۱۸۳۲)، نشان داده است که تربیع دایره برای برخی دایره‌ها در هندسه نااقلیدسی ممکن است، زیرا مساحت این دایره‌ها برابر با ۲ است که در آن عدد متغیری وابسته به شعاع دایره است.
[۷۸] اشتکل، ج۲، ص۲۱۴ـ۲۱۶


(۱) ابن‌زرعه، عیسی، منطق، به کوشش جیرار جیهامی و رفیق عجم، بیروت، ۱۹۹۴م.
(۲) ابن‌سینا، الشفاء، برهان، به کوشش ابوالعلاء عفیفی، قاهره، ۱۳۷۵ق/۱۹۵۶م.
(۳) ابن‌سینا، الشفاء، طبیعیات، السماء والعالم، به کوشش ابراهیم مدکور و محمد قاسم، قاهره، دارالکتب العربی.
(۴) ابن‌سینا، الشفاء، منطق، سفسطه، به کوشش احمد فؤاد اهوانی، قاهره، ۱۳۳۷ق/۱۹۵۸م.
(۵) ابن‌سینا، الشفاء، منطق، قیاس، به کوشش سعید زاید، قاهره، ۱۳۸۳ق/۱۹۶۴م.
(۶) ابن ندیم، الفهرست.
(۷) بیرونی، ابوریحان، القانون المسعودی، حیدرآباد دکن، ۱۳۷۳ق/۱۹۵۴م.
(۸) خاصبکی، مسعود، البدیع فی علم‌الحساب، چ تصویری، سفینۀ تبریز، تهران، ۱۳۸۱ش.
(۹) خوارزمی، محمد، الجبر و المقابلة، به کوشش علی مصطفی مشرفه و محمد مرسی احمد، قاهره، ۱۹۶۸م.
(۱۰) شیخ بهایی، الاعمال الریاضیة، به کوشش جلال شوقی، قاهره، ۱۹۸۱م.
(۱۱) علی بن یوسف محاسب، لب الحساب، چ تصویری، تهران، ۱۳۶۸ش.
(۱۲) غیاث‌الدین جمشید کاشانی، مفتاح الحساب، به کوشش احمد سعید دمرداش و محمد حمدی حنفی شیخ، قاهره، ۱۹۶۷م.
(۱۳) فارابی، البرهان، المنطقیات، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، قم، ۱۴۰۸ق.
(۱۴) قربانی، ابوالقاسم، زندگی‌نامۀ ریاضی‌دانان دورۀ اسلامی، تهران، ۱۳۷۵ش.
(۱۵) قربانی، ابوالقاسم، کاشانی‌نامه، تهران، ۱۳۶۸ش.
(۱۶) معصومی همدانی، حسین، استاد بشر، دانشمند طوس، به کوشش نصرالله پورجوادی و ژیوا وسل، تهران، ۱۳۷۹ش.
(۱۷) نصیرالدین طوسی، اساس الاقتباس، به کوشش محمدتقی مدرس رضوی، تهران، ۱۳۳۶ش.
(۱۸) نصیرالدین طوسی، مجموع الرسائل، حیدرآباد دکن، ۱۳۵۹ق.
(۱۹) نویگباوئر، اوتو، علوم دقیق در عصر عتیق، ترجمۀ همایون صنعتی‌زاده، تهران، ۱۳۷۵ش.
(۲۰) ابن‌ابی‌اصیبعه، عیون الانباء فی طبقات الاطباء، چاپ نزاررضا، بیروت (۱۹۶۵).
(۲۱) صفدی، خليل بن ايبک، الوافي بالوفيات.
(۲۲) ادوارد ون دایک، کتاب اکتفاء القنوع بما هومطبوع، چاپ محمدعلی ببلاوی، مصر ۱۳۱۳/ ۱۸۹۶، چاپ افست قم ۱۴۰۹.
(۲۳) ابن‌هیثم، محمد بن حسن، مقالة فی تربیع الدایرة، چاپ هاینریش سوتر.
(۲۴) Archimedes،» La méthode relative aux théorèms mécaniques «، Les Œuvres complètes d’Archimède، vol II، Brugge، ۱۹۲۱.
(۲۵) a Aristotle، Analytica posteriora.
(۲۶) a Aristotle، Historia animalium.
(۲۸) a Aristotle، Physica.
(۲۹) a Aristotle، Sophistici elenchi.
(۳۰) Boyer، C B، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
(۳۱) a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.
(۳۲) Euclid، The Thirteen Books of Elements، tr Th L Heath، Oxford، ۱۹۲۵.
(۳۳) Eutocus،» Commentaire sur le traité de la mesure du cercle «، Les Œuvres complètes d’Archimède، vol II، Brugge، ۱۹۲۱.
(۳۴) Heath، Th L، A History of Greek Mathematics، Oxford، ۱۹۲۱.
(۳۵) Heath، notes on The Works of Archimedes، Cambridge، ۱۸۸۷.
(۳۶) i Ho Peng Yoke، Li، Qi and Shu، An Introduction to Science and Civilization in China، Hong Kong، ۱۹۸۵.
(۳۷) Knorr، W R، The Ancient Tradition of Geometric Problems، Boston، ۱۹۸۶.
(۳۸) a Ptolemy، Almagest، tr G J Toomer، London، ۱۹۸۴.
(۳۹) Rashed، R،» Al-Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle’ «، Arabic Sciences and Philosophy، volIII (۱)،.
(۴۰) Rashed، Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، London، ۱۹۹۳، vol II.
(۴۱) a Ver Eecke، P، notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon، Brugge، ۱۹۲۱، vol II.

۱. ↑ ابن‌هیثم، محمد بن حسن، مقالة فی تربیع الدایرة، ج۱، ص۱۸۳ـ۲۰۰.
۲. ↑ ابن‌هیثم، محمد بن حسن، مقالة فی تربیع الدایرة، ج۱، ص۱۸۳ـ۲۰۰.
۳. ↑ فؤاد سزگین، تاريخ التراث العربى، ج۵، ص۱۳۰ـ۱۳۱
۴. ↑ فؤاد سزگین، تاريخ التراث العربى، ج۵، ص۱۳۰.
۵. ↑ Eutocus، Commentaire sur le traité de la mesure du cercle ، v۱، p۶۹۹-۷۰۰، Les Œuvres complètes d’Archimède، vol II، Brugge، ۱۹۲۱.
۶. ↑ Heath، Th L، v۲، p۲۲۱، A History of Greek Mathematics، Oxford، ۱۹۲۱.
۷. ↑ فارابی، محمد بن طرخان، المنطقیات، ج۱، ص۳۴۳، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، قم، ۱۴۰۸ق.
۸. ↑ ابن‌زرعه، عیسی، منطق، ج۱، ص۲۳۷- ۲۳۸، به کوشش جیرار جیهامی و رفیق عجم، بیروت، ۱۹۹۴م.
۹. ↑ نصیرالدین طوسی، محمد بن محمد، اساس الاقتباس، ج۱، ص۴۰۷- ۴۰۸، به کوشش محمدتقی مدرس رضوی، تهران.    
۱۰. ↑ ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، منطق، سفسطه، ص۵۷، به کوشش احمد فؤاد اهوانی، قاهره، ۱۳۳۷ق/۱۹۵۸م.
۱۱. ↑ ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، طبیعیات، السماء والعالم، ص۴۱-۴۹، به کوشش ابراهیم مدکور و محمد قاسم، قاهره، دارالکتب العربی.
۱۲. ↑ ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، برهان، ص۱۷۴-۱۷۷، به کوشش ابوالعلاء عفیفی، قاهره، ۱۳۷۵ق/۱۹۵۶م.
۱۳. ↑ فارابی، محمد بن طرخان، المنطقیات، ج۱، ص۳۴۳، به کوشش محمدتقی دانش‌پژوه، قم، ۱۴۰۸ق.
۱۴. ↑ a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۶، p۴۱۱-۴۱۲، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.
۱۵. ↑ Knorr، W R، v۱، p۷۶، The Ancient Tradition of Geometric Problems، Boston، ۱۹۸۶.
۱۶. ↑ ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، منطق، قیاس، ص۵۶۷، به کوشش سعید زاید، قاهره، ۱۳۸۳ق/۱۹۶۴م.
۱۷. ↑ ابن‌سینا، حسین‌ بن‌ عبدالله‌، الشفاء، منطق، سفسطه، ص۵۸، به کوشش احمد فؤاد اهوانی، قاهره، ۱۳۳۷ق/۱۹۵۸م.
۱۸. ↑ a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۱، p۱۷۱، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.
۱۹. ↑ a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۱، p۴۷۹، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.
۲۰. ↑ a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۴، p۳۴، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.
۲۱. ↑ » Al،Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle، v۲، p۲۳، Rashed، R،» Al-Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle’ «، Arabic Sciences and Philosophy، volIII (۱)،.
۲۲. ↑ ابن‌هیثم، محمد بن حسن، مقالة فی تربیع الدایرة.
۲۳. ↑ » Al،Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle، v۲، p۳۴، Rashed، R،» Al-Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle’ «، Arabic Sciences and Philosophy، volIII (۱)،.
۲۴. ↑ » Al،Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle، v۲، p۳۶، Rashed، R،» Al-Kindi’s Commentary on Archimedes’ ‘The Measurement of the Circle’ «، Arabic Sciences and Philosophy، volIII (۱)،.
۲۵. ↑ آلبرتینی، ص ۱۲ـ۱۷.
۲۶. ↑ ابن‌هیثم، محمد بن حسن، مقالة فی تربیع الدایرة، ج۱، ص۴۲.
۲۷. ↑ ابن‌ابی‌اصیبعه، احمد بن قاسم، عیون الانباء فی طبقات الاطباء، ج۱، ص۵۵۹.    
۲۸. ↑ ابن‌ابی‌اصیبعه، احمد بن قاسم، عیون الانباء فی طبقات الاطباء، ج۱، ص۵۵۹.    
۲۹. ↑ فؤاد سزگین، تاريخ التراث العربىسزگین، ج۵، ص۳۶۵ـ۳۶۶.
۳۰. ↑ Qi and Shu، An Introduction to Science and Civilization in China، Hong Kong، ۱۹۸۵، p۵۹-۶۲، i Ho Peng Yoke، Li، Qi and Shu، An Introduction to Science and Civilization in China، Hong Kong، ۱۹۸۵.
۳۱. ↑ Boyer، C B، v۱، p۱۱، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
۳۲. ↑ Boyer، C B، v۱، p۱۷، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
۳۳. ↑ نویگباوئر، اوتو، علوم دقیق در عصر عتیق، ج۱، ص۶۴، ترجمۀ همایون صنعتی‌زاده، تهران، ۱۳۷۵ش.
۳۴. ↑ Qi and Shu، An Introduction to Science and Civilization in China، Hong Kong، ۱۹۸۵، p۶۳، i Ho Peng Yoke، Li، Qi and Shu، An Introduction to Science and Civilization in China، Hong Kong، ۱۹۸۵.
۳۵. ↑ Boyer، C B، v۱، p۲۰۲، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
۳۶. ↑ ابوریحان بیرونی، محمد بن‌ احمد، القانون المسعودی، ج۱، ص۳۰۳.
۳۷. ↑ قربانی، ابوالقاسم، کاشانی نامه: احوال و آثار غیاث الدین جمشید کاشانی، ج۱، ص۱۴۳ـ۱۵۲.
۳۸. ↑ کاتس، ص۴۹۴ـ ۴۹۶.
۳۹. ↑ کاتس، ص۵۲۵ ـ۵۲۷
۴۰. ↑ بکمان، ص۱۴۵.
۴۱. ↑ Heath، Th L، v۳، p۳۷۱-۳۷۳، A History of Greek Mathematics، Oxford، ۱۹۲۱.
۴۲. ↑ Heath، Th L، v۳، p۱۴-۱۷، A History of Greek Mathematics، Oxford، ۱۹۲۱.
۴۳. ↑ Heath، Th L، v۲، p۵۰، A History of Greek Mathematics، Oxford، ۱۹۲۱.
۴۴. ↑ Eutocus،» Commentaire sur le traité de la mesure du cercle «، v۱، p۶۹۹، Les Œuvres complètes d’Archimède، vol II، Brugge، ۱۹۲۱.
۴۵. ↑ a Ver Eecke، P، v۲، p۱۲۷-۱۲۸، notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon، Brugge، ۱۹۲۱، vol II.
۴۶. ↑ Heath، notes on The Works of Archimedes، v۱، p۹۱-۹۳، Cambridge، ۱۸۸۷.
۴۷. ↑ a Ver Eecke، P، v۲، p۱۲۸، notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon، Brugge، ۱۹۲۱، vol II.
۴۸. ↑ Heath، notes on The Works of Archimedes، v۱، p۹۳، Cambridge، ۱۸۸۷.
۴۹. ↑ a Ver Eecke، P، v۲، p۱۳۰-۱۳۴، notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon، Brugge، ۱۹۲۱، vol II.
۵۰. ↑ Heath، notes on The Works of Archimedes، v۱، p۹۳-۹۸، Cambridge، ۱۸۸۷.
۵۱. ↑ a Ver Eecke، P، v۱، [۲۴۲، notes on Les Œuvres complètes d’Archimède suivies des Commentaires d’Eutocius d’Ascalon، Brugge، ۱۹۲۱، vol II.
۵۲. ↑ Heath، notes on The Works of Archimedes، v۱، p۱۵۱، Cambridge، ۱۸۸۷.
۵۳. ↑ Eutocus،» Commentaire sur le traité de la mesure du cercle «، v۱، [۷۰۰، Les Œuvres complètes d’Archimède، vol II، Brugge، ۱۹۲۱.
۵۴. ↑ ابن‌ندیم، محمد بن اسحاق، الفهرست، ج۱، ص۳۲۸.    
۵۵. ↑ ابن‌ندیم، محمد بن اسحاق، الفهرست، ج۱، ص۳۱۷.    
۵۶. ↑ Rashed، Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، v۱، p۱۲، London، ۱۹۹۳، vol II.
۵۷. ↑ Rashed، Les Mathématiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، v۱، p۱۸، London، ۱۹۹۳، vol II.
۵۸. ↑ نصیرالدین طوسی، محمد بن محمد، مجموع الرسائل، رساله پنجم، ص۳، حیدرآباد دکن، ۱۳۵۹ق.
۵۹. ↑ معصومی همدانی، حسین، استاد بشر، ج۱، ص۲۱، به کوشش نصرالله پورجوادی و ژیوا وسل، تهران، ۱۳۷۹ش.
۶۰. ↑ فؤاد سزگین، تاريخ التراث العربى، ص ۱۲۷ـ۱۳۳
۶۱. ↑ صفدی، خلیل بن ایبک، الوافی بالوفیات، ج۱، ص۱۴۹.    
۶۲. ↑ صفدی، خليل بن ايبک، الوافي بالوفيات، ج۱، ص۲۳۹.
۶۳. ↑ خوارزمی، محمد، الجبر و المقابله، ج۱، ص۵۵-۵۶، به کوشش علی مصطفی مشرفه و محمد مرسی احمد، قاهره، ۱۹۶۸م.
۶۴. ↑ Boyer، C B، v۱، p۱۴۱، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
۶۵. ↑ Boyer، C B، v۱، p۱۶۷-۱۶۸، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
۶۶. ↑ a Ptolemy، Almagest، v۱، p۴۸-۵۶، tr G J Toomer، London، ۱۹۸۴.
۶۷. ↑ Boyer، C B، v۱، p۲۱۰، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
۶۸. ↑ خوارزمی، محمد، الجبر و المقابله، ج۱، ص۶۴، به کوشش علی مصطفی مشرفه و محمد مرسی احمد، قاهره، ۱۹۶۸م.
۶۹. ↑ محاسب، علی بن یوسف، لب الحساب، ج۱، ص۲۳۷-۲۳۸، چ تصویری، تهران، ۱۳۶۸ش.
۷۰. ↑ خاصبکی، مسعود، البدیع فی علم‌الحساب، ج۱، ص۴۰۴-۴۰۸، چ تصویری، سفینۀ تبریز، تهران، ۱۳۸۱ش.
۷۱. ↑ شیخ بهایی، محمد بن حسین، الاعمال الریاضیة، ج۱، ص۹۱، به کوشش جلال شوقی، قاهره، ۱۹۸۱م.
۷۲. ↑ ابوریحان بیرونی، محمد بن‌ احمد، القانون المسعودی، ج۱، ص۳۳۰، حیدرآباد دکن، ۱۳۷۳ق/۱۹۵۴م.
۷۳. ↑ قربانی، ابوالقاسم، کاشانی‌نامه، ج۱، ص۱۳۰-۱۵۳، تهران، ۱۳۶۸ش.
۷۴. ↑ کاشانی، غیاث‌الدین جمشید، مفتاح الحساب، ج۱، ص۱۴۷، به کوشش احمد سعید دمرداش و محمد حمدی حنفی شیخ، قاهره، ۱۹۶۷م.
۷۵. ↑ a Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، v۱، p۶-۷، New York، ۱۹۷۱-۱۹۸۱.
۷۶. ↑ Boyer، C B، v۱، p۵۷۳، A History of Mathematics، New York، ۱۹۹۱.
۷۷. ↑ کلاین، ص۹۸۱ـ۹۸۲.
۷۸. ↑ اشتکل، ج۲، ص۲۱۴ـ۲۱۶


دانشنامه بزرگ اسلامی، مرکز دائرة المعارف بزرگ اسلامی، برگرفته از مقاله «تربیع دایره»، شماره ۵۸۶۴.    
دانشنامه جهان اسلام، بنیاد دائرة المعارف اسلامی، برگرفته از مقاله «تربیع دایره»، شماره ۳۴۳۰.    


رده‌های این صفحه : ریاضیات | مسائل فلسفی | مسائل هندسی | یونان باستان
جعبه ابزار