• خواندن
  • نمایش تاریخچه
  • ویرایش
 

تسبیع دایره

ذخیره مقاله با فرمت پی دی اف


تسبیع دایره، تقسیم محیط دایره به ۷ کمان برابر، یا ساخت (ترسیم) ۷ ضلعی منتظم که در سده ۴ق/۱۰م بسیاری از دانشمندان دوره اسلامی را به خود مشغول ساخت.


در سنت ریاضیات اسلامی، رساله‌ای در این باب به ارشمیدس (همین مقاله) منسوب شده که ابن ندیم از آن با عبارت «کتاب تسبیع الدائرة در یک مقاله» یاد کرده است.
[۱] ابن ندیم، محمد، الفهرست، ج۱، ص۲۶۶، به کوشش فلوگل، لایپزیگ، ۱۸۷۱-۱۸۷۲م.    
اما ریاضی‌دانان دوره اسلامی غالباً در عنوان یا متن آثاری که در این باب نوشته‌اند، از اصطلاحاتی چون «عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة» و «عمل المسبع فی الدائرة» و «استخراج ضلع المسبع المتساوی الاضلاع» بهره گرفته‌اند. اما ابوالجود (همین مقاله) به رغم به‌کارگیری عبارات یادشده، به «توانایی ابوحامد صاغانی در (مسئله) تسبیع و دیگر مسائل هندسی» اشاره کرده
[۲] ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۲۱، به کوشش رشـدی راشد.
و کمال‌الدین ابن یونس (همین مقاله) نیز هم در عنوان رسالات خود و هم هنگام اشاره به رساله منسوب به ارشمیدس و نیز رساله‌ای از ابوسعید سجزی، از همان اصطلاح تسبیع دایره بهره برده است.
[۳] ابن یونس، کمال‌الدین، البرهان علی ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک، ج۱، ص۸۸۵، به‌کوشش رشدی راشد.
[۴] ابن یونس، کمال‌الدین، البرهان علی ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک، ج۱، ص۸۹۱، به‌کوشش رشدی راشد.


در متون یونانی، نشانه‌ای از نگارش چنین رساله‌ای توسط ارشمیـدس نمی‌توان یافت. از روایت عربی رایج در دوره اسلامی نیز تنها تحریری نوین که فردی فاضل به نام مصطفی صدقی ابن صالح در ۱۱۵۳ق/۱۷۴۰م با عنوان «عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس» فراهم آورده، به دست ما رسیده است. وی چنان‌که خود گوید: نسخه‌ای بسیار مغلوط از رساله ارشمیدس در این باره را به ترجمه ثابت بن قره در یک مقاله و ۱۸ شکل (قضیه یا مسئله) یافته، و پس از اصلاح متن، برخی براهین متأخران همچون ابوعلی حبوبی و شنی
[۵] عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۶۷-۶۷۵، به کوشش رشدی راشد.
را نیز بدان افزوده است (درباره تغییرات اعمـال شده توسط مصطفـی صدقی،
[۶] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۸،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
). در ایـن رساله تنهـا دو مسئلـه ۱۷ و ۱۸ بـه تسبیـع دایره مربوط مـی‌شوند.
[۷] عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۸۷-۶۸۹، به کوشش رشدی راشد.
[۸] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۴،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.


۲.۱ - قضیه هفده

قضیه ۱۷ این رساله که لم یا قضیه مقدماتی تسبیع دایره (قضیه ۱۸) محسوب می‌شود، بدین قرار است: در مربع معلوم ABCD یک سر خط‌کش را روی نقطه D قرار می‌دهیم و آن‌را چنان حرکت می‌دهیم که محل تقاطع آن با امتداد AB (که آن را Z می‌نامیم) چنان باشد (یا به تعبیر روشن‌تر: نقطه Z را روی امتداد AB چنان انتخاب می‌کنیم) که مساحت دو مثلث DTC و AZH (و نه خـود آنها) با یکدیگر برابر شـود. سپس از نقطه T ــ محل تلاقی این خط و قطر BC ــ خطی به موازات BD رسم می‌کنیم تا AB و CD را به ترتیب در K و L قطع کند. در این صورت خواهیم داشت: ۱.؛ ۲.؛ ۳. AZ و KB هر دو از AK بزرگ‌ترند (از روابط ۱ و ۲ نتیجه AK [۹] عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۸۷-۶۸۹، به کوشش رشدی راشد.
[۱۰] ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۰۹-۷۱۱، به کوشش رشـدی راشد.
[۱۱] سجزی، احمد، عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة، ج۱، ص۷۴۱-۷۴۳، به کوشش رشدی راشد.
[۱۲] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۰،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
[۱۳] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۵،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.


۲.۲ - قضیه هجده

در قضیه ۱۸ ابتدا روی پاره‌خط معلوم ZB نقاط A و K چنان انتخاب می‌شوند که روابط فوق برقرار باشد (استفاده از قضیه ۱۷) و از آن‌جا یک ضلع ۷ ضلعی منتظم به دست می‌آید. در این ترسیم در نهایت روی پاره خط معلوم ZB مثلث ZBE چنان ساخته می‌شود که زوایای Z، B و E به ترتیب، و باشد
[۱۴] عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۸۹، به کوشش رشدی راشد.
[۱۵] عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۹۱، به کوشش رشدی راشد.
[۱۶] Schoy، Die Trigonometrischen Lehren des Persischen Astronomen Abu’l-Raihân Muh ibn Ahmad al-Bîrûnî، ص۸۲-۸۴، ed J Ruska and H Wieleitner، Hannover، ۱۹۲۷.
[۱۷] Schoy، C، ص۳۶-۳۸، » Graeco-Arabische Studien nach mathematischen Handschriften der Viseköniglichen Bibliothek zu Kairo «، Isis، ۱۹۲۶، vol VIII.
[۱۸] Tropfke، «Zur Geschichte der Mathematik»، ص۱۹۶-۱۹۷، Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen، Leizpig/ Berlin، ۱۹۲۸، vol LIX.
[۱۹] Tropfke، «Die Siebeneckabhandlung des Archimedes»، ص۶۴۸-۶۴۹، Osiris، ۱۹۳۶، vol I.
[۲۰] Tropfke، J، «Archimedes und die Trigonometrie»، ص۴۵۱-۴۵۲، Archiv für Geschichte der Mathematik der Naturwissenschaften und der Technik، Berlin، ۱۹۲۸، vol X .
[۲۱] Clagett، M، ج۱، ص۲۲۴-۲۲۵، «Archimedes»، Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، New York، ۱۹۷۰، vol I.
[۲۲] Hogendijk، JP، ج۱، ص۱۹۹: نقد ترجمه‌های اروپایی قبلی،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
[۲۳] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۴-۲۰۸: ترجمه انگلیسی،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
[۲۴] Rashed، R، ج۱، ص۳۲۹-۳۳۰، Les mathé-matiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، Ibn Al-Haytham، London، ۲۰۰۰، vol III.
[۲۵] Rashed، R، ج۱، ص۶۸۶-۶۹۰، Les mathé-matiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، Ibn Al-Haytham، London، ۲۰۰۰، vol III.

در این روش ترسیم ۷ ضلعی منوط است به یافتن یکی از دو نقطه A یا K روی پاره خط معلوم ZB یا یافتن یکی از نقاط K یا Z روی پاره‌خط معلوم AB یا امتداد آن به وجهی که روابط ۱ و ۲ برقرار باشد. در واقع ارشمیدس یا هر که نگارنده این رساله بوده، مسئله تسبیع دایره را ــ همچون مسئله مارپیچ (که این یکی کار خود ارشمیدس است) ــ به یک مسئله میل۶ (ترسیم DZ با شرط گفته شده) تبدیل کرده است، بی‌آنکه روش کار را روشن کند.
[۲۶] Knorr، W R، ج۱، ص۱۸۷، The Ancient Tradition of Geometric Problems، New York، ۱۹۸۶.
[۲۷] Clagett، M، ج۱، ص۲۲۵، «Archimedes»، Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، New York، ۱۹۷۰، vol I.
[۲۸] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۰،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.


۲.۳ - نظر هوخندایک

به نظر هوخندایک بسیار بعید است ریاضی‌دانی چون ارشمیدس برای یافتن نقاط A و K روی ZB با شرایط یادشده به قضیه ۱۷ متوسل شود، زیرا این دو نقطه را به سادگی می‌توان با استفاده از قطع‌های مخروطی به دست آورد. البته وی سرانجام در این‌که اصل این روش به یونانیان باز می‌گردد، تردید نمی‌کند.
[۲۹] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۱۳،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
اما این را نیز باید در نظر داشت که خود ارشمیدس نیز در قضیه چهارم از مقاله دوم رساله «در کره و استوانه» که به تقسیم پاره خطی با شرایط خاص، نیاز دارد و آن نیز به استفاده از قطع‌های مخروطی می‌انجامد، مسئله را حل‌شده، پذیرفته بود.
[۳۰] نصیر‌الدین طوسی، محمد، تحریر الکرة و الاستوانة، ج۱، ص۸۹ بب‌، حیدرآباد دکن، ۱۳۵۹ق.
[۳۱] ابن هیثم، حسن، قسمة الخط الذی استعمله ارشمیدس فی المقالة الثانیة فی الکرة و الاسطوانة، ج۱، ص۴۹۱، به کوشش رشدی راشد.
بیشتر ریاضی‌دانان مسلمان نیز هنگام اشاره به «حل‌شده فرض شدن ترسیم خط DZ در مسئله تسبیع» غالباً به این نکته نیز اشاره کرده‌اند.
[۳۲] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۵.
[۳۳] سجزی، احمد، عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة، ج۱، ص۷۴۱، به کوشش رشدی راشد.
[۳۴] صاغانی، احمد، رسالة الی ملک الجلیل عضدالدولة بن ابی علی رکن‌الدولة، ج۱، ص۸۱۳، به کوشش رشدی راشد.
[۳۵] کوهی، ابوسهل، عمل ضلع المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ج۱، ص۷۹۳، به کوشش رشدی راشد.
[۳۶] شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۳۳-۸۳۵، به کوشش رشدی راشد.
[۳۷] ابن هیثم، حسن، مقدمة ضلع المسبع، ج۱، ص۴۳۹، به کوشش رشدی راشد.
[۳۸] ابن یونس، کمال‌الدین، البرهان علی ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک، ج۱، ص۸۸۵، به‌کوشش رشدی راشد.


در اواخر سال ۳۵۸ق/ ۹۶۹م ابوالجود محمد بن لیث با تلاش برای ترسیم مثلث متساوی الساقینی که یک زاویه آن و دو زاویه دیگر باشد، روشی نو در پیش گرفت. او نیز ترسیم این مثلث را به یافتن دو نقطه با شرایطی خاص روی یک پاره خط موکول کرد و به گمان خود، این دو نقطه را با استفاده از تقاطع یک سهمی و شاخه‌ای از یک هذلولی یافت. پس رساله‌ای در این باب به ابوالحسین عبیدالله بن احمد نوشت و سواد این رساله را نیز به ابومحمد عبدالله بن علی حاسب فرستاد.
[۳۹] ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۱۹-۷۲۱، به کوشش رشـدی راشد.
[۴۰] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۵.
[۴۱] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۷۰۳.

ابوسعید سجزی پس از به دست آوردن نسخـه‌ای از این رساله که امروزه نشانه‌ای از آن در دست نیست، دریافت که ابوالجود در نیمه دوم کار خود اشتباهـی مرتکب شده است. اما چـون خود نتوانست راه درست یافتن آن دو نقطـه را بیابد، از ابوالعلاء بن سهل کمک خواست و سرانجام با تکمیل کار توسط این یک، روش ابداعی ریاضی‌دانان مسلمان برای تسبیع دایره کامل شد.
[۴۲] سجزی، احمد، عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة، ج۱، ص۷۴۱-۷۴۹، به کوشش رشدی راشد.
[۴۳] شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۳۹-۸۴۳، به کوشش رشدی راشد.
[۴۴] انبوبا، عادل، قضیة هندسیة و مهندسون فی القـرن الرابع الهجری، ج۱، ص۸۰-۸۴، تسبیع الدائرة، مجلة تاریخ العلوم العربیة، حلب، ۱۹۷۷م، س ۱، شم‌ ۲.
[۴۵] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۴۲-۲۵۶،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
[۴۶] Rashed، R، ج۱، ص۳۳۱ff، Les mathé-matiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، Ibn Al-Haytham، London، ۲۰۰۰، vol III.


اندکی بعد، ابوحامد صاغانی به همان قضیه مقدماتی ارشمیدس پرداخت و برای ترسیم آن خط با شرط یاد شده از ۳ قطع مخروطی دو تا متقابل (دو شاخه یک هذلولی) و دیگری یک شاخه از هذلولی دیگر که یکی از آن دو شاخه هذلولی نخست را قطع می‌کرد، بهره گرفت و حاصل کار را در شوال ۳۶۰/ اوت ۹۷۱ در رساله‌ای به عضدالدوله بویهی تقدیم کرد.
[۴۷] صاغانی، احمد، رسالة الی ملک الجلیل عضدالدولة بن ابی علی رکن‌الدولة، ج۱، ص۸۱۳-۸۲۹، به کوشش رشدی راشد.
[۴۸] ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۱۳، به کوشش رشـدی راشد.
[۴۹] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۷.
[۵۰] شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۳۹، به کوشش رشدی راشد.
[۵۱] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۲۲-۲۲۳،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
در واقع او با یافتن روشی برای ترسیم خط DZ در مقدمه ارشمیدس روش وی را تکمیل کرد.

اما ابوسهل کوهی به تعبیر ابوالجود «مربع ارشمیدس و ترسیم آن دو مثلث متساوی را رها کرد و به آن چیزی پرداخت که علت این ترسیم بود، یعنی تقسیم پاره‌خطی به همان نسبت‌های مخصوص». وی نخست در رساله «استخراج ویجن بن رستم... فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة المعلومة» (یا استخراج ضلع المسبع) برای عضدالدوله و سپس در رساله «عمل ضلع المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة» خطاب به فرزند او ابوالفوارس، به دو روش و با استفاده از یک هذلولی و یک سهمی متقاطع دو نقطه مورد نیاز در روش ارشمیدس را به دست آورد.
[۵۲] کوهی، ابوسهل، استخراج ضلع المسبع، ج۱، ص۷۶۵-۷۸۵، به کوشش رشدی راشد.
[۵۳] کوهی، ابوسهل، عمل ضلع المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ج۱، ص۷۹۳-۸۰۹، به کوشش رشدی راشد.
[۵۴] ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۱۱، به کوشش رشـدی راشد.
[۵۵] ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۱۳ به کوشش رشـدی راشد.
[۵۶] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۵.
[۵۷] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۷.
[۵۸] شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۳۹، به کوشش رشدی راشد.
[۵۹] ابن هیثم، حسن، عمل المسبع فی‌ الدائرة، ج۱، ص۴۵۵، به کوشش رشدی راشد.
[۶۰] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۳۲-۲۳۴،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.

از سخنان ابوالجود درباره این دو،
[۶۱] شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، به کوشش رشدی راشد.
چنین برمی‌آید که صاغانی، پس از آن‌که ابوسهل مقدمه ارشمیدس را کنار گذاشت، رساله خود را نوشته است. در حالی که اگر چنین بود، آنگاه مستدل ساختن مقدمه ارشمیدس آن هم با آن تفصیل که در رساله صاغانی آمده است، لطفی نداشت. از طرفی خود ابوالجود گفته است که ابوسهل سال‌ها پس از نخستین رساله ابوالجود (رساله مفقود ۳۵۸ق/۹۶۹م) به تسبیع دایره پرداخته است
[۶۲] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۵: ثم عمل بعد ذلک... بعد ما عملته بسنین غیر قلیلة.
، در حالی که صاغانی، چنان که گفته شد در ۳۶۰ق رساله خود را به پایان رسانده است.
[۶۳] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۶۸-۲۶۹،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.


در یکی از آثار منسوب به ابوسهل کوهی که تنها تحریری مجهول المحرر از آن با عنوان «فی تثلیث الزاویة و عمل المسبع المتساوی الاضلاع» به دست ما رسیده (جنگ شم‌ ۳ مجموعه تورستون، کتابخانه بادلیان)، هفت‌ضلعی منتظم با همان روش «ابوالجود ـ علاء بن سهل ـ سجزی» و ظاهراً با استفاده از رساله سابق الذکر سجزی ترسیم شده ‌است.
[۶۴] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۵۶،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
[۶۵] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۷۷،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
از برخی اشارات ابوالجود می‌توان دریافت که نگارش این رساله توسط ابوسهل موجب شده بود که برخی وی را ابداع‌کننده روش جدید تسبیع بدانند.
[۶۶] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۷.
اما ابوالجود پس از آگاهی از اشتباه راه یافته به رساله نخست خود
[۶۷] عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة، به کوشش رشدی راشد.
روش اصلاح‌شده را همراه با شرحی بر روش‌های صاغانی و کوهی برای ابومحمد عبدالله بن علی حاسب نوشت. سپس شنی پاسخی کینه‌توزانه به وی داد و در آن سجزی را نیز به انتحال روش ابوالعلاء بن سهل متهم ساخت.
[۶۸] شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۴۵، به کوشش رشدی راشد.

سرانجام ابوالجود، در «عمل المسبع فی الدائرة» خطاب به ابوالحسن احمد بن محمد بن اسحاق غادی، افزون بر تکرار روش اصلاح‌ شده خود، همچون ابوسهل کوهی، دو نقطه مورد نیاز در روش ارشمیدس را مستقیماً به دست آورد.
[۶۹] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۷.
[۷۰] ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۷۰۳، جم‌.
[۷۱] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۲۳-۲۲۴،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.


به رغم تألیف رسالات متعددی درباره تسبیع دایره در ربع سوم سده ۴ق، این مسئله در اواخر سده ۴ یا اوایل سده ۵ق همچنان برای ریاضی‌دانی بزرگ چون ابن هیثم (همین مقاله) جالب توجه بود. وی نخست در رساله «مقدمة ضلع المسبع» چگونگی ترسیم خطی را که ارشمیدس آن را رسم‌شده فرض کرده بود، مشخص کرده است.
[۷۲] ابن هیثم، حسن، مقدمة ضلع المسبع، ج۱، ص۴۳۹، به کوشش رشدی راشد.
[۷۳] ابن هیثم، حسن، مقدمة ضلع المسبع، ج۱، ص۴۴۵، جم‌، به کوشش رشدی راشد.
[۷۴] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۲۶-۲۲۷،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
ابن هیثم در رساله دیگر خود با اشاره به فعالیت‌های ابوسهل کوهی و نیز ابوحامد صاغانی (البته بی‌آنکه از این یک یاد کند)، این بار نقاط مورد نیاز برای ترسیم مثلث ارشمیدس را با روش‌های مختلف و مستقیماً پیدا کرده است.
[۷۵] ابن هیثم، حسن، عمل المسبع فی‌ الدائرة، ج۱، ص۴۵۵، جم‌، به کوشش رشدی راشد.
[۷۶] Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۳۴-۲۳۷،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
از سکوت وی درباره روش پیشنهادی ابوالجود پیدا ست که وی رسالات مرتبط با روش جدید را در دست نداشته است.

در زمینه تسبیع دایره رساله دیگری نیز از ریاضی‌دانی به نام نصـر بن‌ عبداللـه ــ کـه روزگار وی چندان روشـن نیست ــ بـه‌ دست ما رسیده که در آن همچون ابن‌ هیثم و کوهی بدون به‌کارگیری مقدمه ارشمیدس به تسبیع دایره پرداخته است.
[۷۷] نصر بن عبدالله، استخراج وتر المسبع، ج۱، ص۸۶۷-۸۷۳، به کوشش رشدی راشد.
کمال‌الدین ابن یونس، احتمالاً آخرین ریاضی‌دان قابل ذکری است که درباره تسبیع دایره به تحقیق پرداخته، او نیز در نامه‌ای خطاب به شاگرد ریاضی‌دانش، محمد بن حسین به تبیین مقدمه ارشمیدس پرداخته است.
[۷۸] ابن یونس، کمال‌الدین، البرهان علی ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک، ج۱، ص۸۸۵-۸۹۳، به‌کوشش رشدی راشد.


جالب آنکه، خیام در رساله بی‌نامی که درباره حل معادلات جبری نوشته، آورده است که ابونصر منصور بن عراق (همین مقاله) مقدمه ارشمیدس را.... با به‌کارگیری اصطلاحات جبری به معادله «مکعب و مال‌هایی که برابر اعدادی است» برگرداند و این معادله را به وسیله قطوع مخروطی حل کرد (
[۷۹] خیام، عمر بن ابراهیم، رساله در تحلیل یک مسئله، ج۱، ص۲۸۸، چ تصویری نسخه منحصر‌به‌فرد کتابخانه مرکزی دانشگاه، به کوشش غلامحسین مصاحب، حکیم عمر خیام به عنوان عالم جبر، تهران، ۱۳۳۹ش.
ریشه‌های این معادله را می‌توان با استفاده از یک سهمی و یک هذلولی متقاطع به دست آورد). چنان که گفته شد، ریاضی‌دانان مسلمان سده‌های ۴و۵‌ق نیز برای تقسیم با شرایط مذکور در هر دو روش ارشمیدس و ابوالجود (که هر دو آن‌ها از نظر جبری معادل است با حل معـادله‌ای به صورت)، نیز از همین دو قطع مخروطی استفاده کرده‌ بودند.
‌
(۱) ابن ندیم، محمد، الفهرست، به کوشش فلوگل، لایپزیگ، ۱۸۷۱-۱۸۷۲م.
(۲) ابن هیثم، حسن، عمل المسبع فی‌ الدائرة، به کوشش رشدی راشد.
(۳) ابن هیثم، حسن، قسمة الخط الذی استعمله ارشمیدس فی المقالة الثانیة فی الکرة و الاسطوانة، به کوشش رشدی راشد.
(۴) ابن هیثم، حسن، مقدمة ضلع المسبع، به کوشش رشدی راشد.
(۵) ابن یونس، کمال‌الدین، البرهان علی ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک، به‌کوشش رشدی راشد.
(۶) ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، به کوشش رشـدی راشد.
(۷) ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، به کوشش رشـدی راشد.
(۷) انبوبا، عادل، قضیة هندسیة و مهندسون فی القـرن الرابع الهجری، تسبیع الدائرة، مجلة تاریخ العلوم العربیة، حلب، ۱۹۷۷م، س ۱، شم‌ ۲.
(۸) خیام، عمر بن ابراهیم، رساله در تحلیل یک مسئله، چ تصویری نسخه منحصر‌به‌فرد کتابخانه مرکزی دانشگاه، به کوشش غلامحسین مصاحب، حکیم عمر خیام به عنوان عالم جبر، تهران، ۱۳۳۹ش.
(۹) سجزی، احمد، عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة، به کوشش رشدی راشد.
(۱۰) شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، به کوشش رشدی راشد.
(۱۱) صاغانی، احمد، رسالة الی ملک الجلیل عضدالدولة بن ابی علی رکن‌الدولة، به کوشش رشدی راشد.
(۱۲) عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، به کوشش رشدی راشد.
(۱۳) کوهی، ابوسهل، عمل ضلع المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، به کوشش رشدی راشد.
(۱۴) کوهی، ابوسهل، استخراج ضلع المسبع، به کوشش رشدی راشد.
(۱۵) نصر بن عبدالله، استخراج وتر المسبع، به کوشش رشدی راشد.
(۱۶) نصیر‌الدین طوسی، محمد، تحریر الکرة و الاستوانة، حیدرآباد دکن، ۱۳۵۹ق.
(۱۷) Clagett، M، «Archimedes»، Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، New York، ۱۹۷۰، vol I.
(۱۸) Hogendijk، JP،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
(۱۹) Knorr، W R، The Ancient Tradition of Geometric Problems، New York، ۱۹۸۶.
(۲۰) Rashed، R، Les mathé-matiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، Ibn Al-Haytham، London، ۲۰۰۰، vol III.
(۲۱) Schoy، C،» Graeco-Arabische Studien nach mathematischen Handschriften der Viseköniglichen Bibliothek zu Kairo «، Isis، ۱۹۲۶، vol VIII.
(۲۲) Schoy، Die Trigonometrischen Lehren des Persischen Astronomen Abu’l-Raihân Muh ibn Ahmad al-Bîrûnî، ed J Ruska and H Wieleitner، Hannover، ۱۹۲۷.
(۲۳) Tropfke، J، «Archimedes und die Trigonometrie»، Archiv für Geschichte der Mathematik der Naturwissenschaften und der Technik، Berlin، ۱۹۲۸، vol X.
(۲۴) Tropfke، «Zur Geschichte der Mathematik»، Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen، Leizpig/ Berlin، ۱۹۲۸، vol LIX.
(۲۵) Tropfke، «Die Siebeneckabhandlung des Archimedes»، Osiris، ۱۹۳۶، vol I.

۱. ↑ ابن ندیم، محمد، الفهرست، ج۱، ص۲۶۶، به کوشش فلوگل، لایپزیگ، ۱۸۷۱-۱۸۷۲م.    
۲. ↑ ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۲۱، به کوشش رشـدی راشد.
۳. ↑ ابن یونس، کمال‌الدین، البرهان علی ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک، ج۱، ص۸۸۵، به‌کوشش رشدی راشد.
۴. ↑ ابن یونس، کمال‌الدین، البرهان علی ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک، ج۱، ص۸۹۱، به‌کوشش رشدی راشد.
۵. ↑ عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۶۷-۶۷۵، به کوشش رشدی راشد.
۶. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۸،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۷. ↑ عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۸۷-۶۸۹، به کوشش رشدی راشد.
۸. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۴،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۹. ↑ عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۸۷-۶۸۹، به کوشش رشدی راشد.
۱۰. ↑ ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۰۹-۷۱۱، به کوشش رشـدی راشد.
۱۱. ↑ سجزی، احمد، عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة، ج۱، ص۷۴۱-۷۴۳، به کوشش رشدی راشد.
۱۲. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۰،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۱۳. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۵،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۱۴. ↑ عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۸۹، به کوشش رشدی راشد.
۱۵. ↑ عمل الدائرة المقسومة بسبعة اقسام متساویة لارشمیدس، تحریر نوین مصطفی صدقی، ج۱، ص۶۹۱، به کوشش رشدی راشد.
۱۶. ↑ Schoy، Die Trigonometrischen Lehren des Persischen Astronomen Abu’l-Raihân Muh ibn Ahmad al-Bîrûnî، ص۸۲-۸۴، ed J Ruska and H Wieleitner، Hannover، ۱۹۲۷.
۱۷. ↑ Schoy، C، ص۳۶-۳۸، » Graeco-Arabische Studien nach mathematischen Handschriften der Viseköniglichen Bibliothek zu Kairo «، Isis، ۱۹۲۶، vol VIII.
۱۸. ↑ Tropfke، «Zur Geschichte der Mathematik»، ص۱۹۶-۱۹۷، Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen Unterricht aller Schulgattungen، Leizpig/ Berlin، ۱۹۲۸، vol LIX.
۱۹. ↑ Tropfke، «Die Siebeneckabhandlung des Archimedes»، ص۶۴۸-۶۴۹، Osiris، ۱۹۳۶، vol I.
۲۰. ↑ Tropfke، J، «Archimedes und die Trigonometrie»، ص۴۵۱-۴۵۲، Archiv für Geschichte der Mathematik der Naturwissenschaften und der Technik، Berlin، ۱۹۲۸، vol X .
۲۱. ↑ Clagett، M، ج۱، ص۲۲۴-۲۲۵، «Archimedes»، Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، New York، ۱۹۷۰، vol I.
۲۲. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۱۹۹: نقد ترجمه‌های اروپایی قبلی،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۲۳. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۴-۲۰۸: ترجمه انگلیسی،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۲۴. ↑ Rashed، R، ج۱، ص۳۲۹-۳۳۰، Les mathé-matiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، Ibn Al-Haytham، London، ۲۰۰۰، vol III.
۲۵. ↑ Rashed، R، ج۱، ص۶۸۶-۶۹۰، Les mathé-matiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، Ibn Al-Haytham، London، ۲۰۰۰، vol III.
۲۶. ↑ Knorr، W R، ج۱، ص۱۸۷، The Ancient Tradition of Geometric Problems، New York، ۱۹۸۶.
۲۷. ↑ Clagett، M، ج۱، ص۲۲۵، «Archimedes»، Dictionary of Scientific Biography، ed Ch C Gillispie، New York، ۱۹۷۰، vol I.
۲۸. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۰۰،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۲۹. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۱۳،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۳۰. ↑ نصیر‌الدین طوسی، محمد، تحریر الکرة و الاستوانة، ج۱، ص۸۹ بب‌، حیدرآباد دکن، ۱۳۵۹ق.
۳۱. ↑ ابن هیثم، حسن، قسمة الخط الذی استعمله ارشمیدس فی المقالة الثانیة فی الکرة و الاسطوانة، ج۱، ص۴۹۱، به کوشش رشدی راشد.
۳۲. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۵.
۳۳. ↑ سجزی، احمد، عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة، ج۱، ص۷۴۱، به کوشش رشدی راشد.
۳۴. ↑ صاغانی، احمد، رسالة الی ملک الجلیل عضدالدولة بن ابی علی رکن‌الدولة، ج۱، ص۸۱۳، به کوشش رشدی راشد.
۳۵. ↑ کوهی، ابوسهل، عمل ضلع المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ج۱، ص۷۹۳، به کوشش رشدی راشد.
۳۶. ↑ شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۳۳-۸۳۵، به کوشش رشدی راشد.
۳۷. ↑ ابن هیثم، حسن، مقدمة ضلع المسبع، ج۱، ص۴۳۹، به کوشش رشدی راشد.
۳۸. ↑ ابن یونس، کمال‌الدین، البرهان علی ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک، ج۱، ص۸۸۵، به‌کوشش رشدی راشد.
۳۹. ↑ ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۱۹-۷۲۱، به کوشش رشـدی راشد.
۴۰. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۵.
۴۱. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۷۰۳.
۴۲. ↑ سجزی، احمد، عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة، ج۱، ص۷۴۱-۷۴۹، به کوشش رشدی راشد.
۴۳. ↑ شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۳۹-۸۴۳، به کوشش رشدی راشد.
۴۴. ↑ انبوبا، عادل، قضیة هندسیة و مهندسون فی القـرن الرابع الهجری، ج۱، ص۸۰-۸۴، تسبیع الدائرة، مجلة تاریخ العلوم العربیة، حلب، ۱۹۷۷م، س ۱، شم‌ ۲.
۴۵. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۴۲-۲۵۶،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۴۶. ↑ Rashed، R، ج۱، ص۳۳۱ff، Les mathé-matiques infinitésimales du IXe au XIe siècle، Ibn Al-Haytham، London، ۲۰۰۰، vol III.
۴۷. ↑ صاغانی، احمد، رسالة الی ملک الجلیل عضدالدولة بن ابی علی رکن‌الدولة، ج۱، ص۸۱۳-۸۲۹، به کوشش رشدی راشد.
۴۸. ↑ ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۱۳، به کوشش رشـدی راشد.
۴۹. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۷.
۵۰. ↑ شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۳۹، به کوشش رشدی راشد.
۵۱. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۲۲-۲۲۳،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۵۲. ↑ کوهی، ابوسهل، استخراج ضلع المسبع، ج۱، ص۷۶۵-۷۸۵، به کوشش رشدی راشد.
۵۳. ↑ کوهی، ابوسهل، عمل ضلع المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ج۱، ص۷۹۳-۸۰۹، به کوشش رشدی راشد.
۵۴. ↑ ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۱۱، به کوشش رشـدی راشد.
۵۵. ↑ ابوالجود، محمد، الدلالة علی طریقی الاستاذ ابی سهل القوهی المهندس و شیخه ابی حامد الصاغانی و طریقه (ابوالجود) التی سلکها فی عمل المسبع المتساوی الاضلاع فی الدائرة، ص۷۱۳ به کوشش رشـدی راشد.
۵۶. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۵.
۵۷. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۷.
۵۸. ↑ شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۳۹، به کوشش رشدی راشد.
۵۹. ↑ ابن هیثم، حسن، عمل المسبع فی‌ الدائرة، ج۱، ص۴۵۵، به کوشش رشدی راشد.
۶۰. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۳۲-۲۳۴،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۶۱. ↑ شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، به کوشش رشدی راشد.
۶۲. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۵: ثم عمل بعد ذلک... بعد ما عملته بسنین غیر قلیلة.
۶۳. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۶۸-۲۶۹،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۶۴. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۵۶،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۶۵. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۷۷،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۶۶. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۷.
۶۷. ↑ عمل المسبع فی الدائرة و قسمة الزاویة المستقیمة الخطین بثلاثة اقسام متساویة، به کوشش رشدی راشد.
۶۸. ↑ شنی، محمد، کشف تمویه ابی الجود فی امر ما قدمه من المقدمتین لعمل المسبع بزعمه، ج۱، ص۸۴۵، به کوشش رشدی راشد.
۶۹. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۶۹۷.
۷۰. ↑ ابوالجود، محمد، عمل المسبع فی الدائرة، ص۷۰۳، جم‌.
۷۱. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۲۳-۲۲۴،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۷۲. ↑ ابن هیثم، حسن، مقدمة ضلع المسبع، ج۱، ص۴۳۹، به کوشش رشدی راشد.
۷۳. ↑ ابن هیثم، حسن، مقدمة ضلع المسبع، ج۱، ص۴۴۵، جم‌، به کوشش رشدی راشد.
۷۴. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۲۶-۲۲۷،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۷۵. ↑ ابن هیثم، حسن، عمل المسبع فی‌ الدائرة، ج۱، ص۴۵۵، جم‌، به کوشش رشدی راشد.
۷۶. ↑ Hogendijk، JP، ج۱، ص۲۳۴-۲۳۷،» Greek and Arabic Constructions of the Regular Heptagon «، Archive for History of Exact Sciences، ۱۹۸۴، vol XXX.
۷۷. ↑ نصر بن عبدالله، استخراج وتر المسبع، ج۱، ص۸۶۷-۸۷۳، به کوشش رشدی راشد.
۷۸. ↑ ابن یونس، کمال‌الدین، البرهان علی ایجاد المقدمة التی اهملها ارشمیدس فی‌کتابه فی تسبیع الدائرة و کیفیة ذلک، ج۱، ص۸۸۵-۸۹۳، به‌کوشش رشدی راشد.
۷۹. ↑ خیام، عمر بن ابراهیم، رساله در تحلیل یک مسئله، ج۱، ص۲۸۸، چ تصویری نسخه منحصر‌به‌فرد کتابخانه مرکزی دانشگاه، به کوشش غلامحسین مصاحب، حکیم عمر خیام به عنوان عالم جبر، تهران، ۱۳۳۹ش.


دانشنامه بزرگ اسلامی، مرکز دائرة المعارف بزرگ اسلامی، برگرفته از مقاله «تسبیع دایره»، شماره۵۹۲۱.    

رده‌های این صفحه : مقالات دانشنامه بزرگ اسلامی
جعبه ابزار